两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积[数论]

证明:

设两个数为x和y,其最大公约数为a,则
最小公倍数为(x/a)*(y/a)*a=xy/a,
最大公约数和最小公倍数的乘积为xy/a*a=xy
得证

结论:

两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积

例题:

NOIP2001复赛 普及组 第二题

最大公约数和最小公倍数问题

总时间限制: 1000ms        内存限制: 65536kB

描述

输入二个正整数x0,y0(2<=x0<100000,2<=y0<=1000000),求出满足下列条件的p,q的个数：< p="">

条件:

1.P,Q是正整数

2.要求P,Q以x0为最大公约数,以y0为最小公倍数。

试求:满足条件的所有可能的两个正整数的个数。

输入

一行，包含两个正整数x0和y0，中间用单个空格隔开。

输出

一个整数，即满足条件的个数。

样例输入

3 60

样例输出

4

思路:

两个数的积等于它们最大公约数和它们最小公倍数的积。（自己好好理解一下）所以满足条件的两个数的积一定是读入的两个数的积。所以做法就很显然了，枚举一个数，判断它能否被读入的两个数的积整除，如果可以再判断它和两个数的积除以它所得的数的最大公约数和读入的最大公约数是否相同，如果相同则ans++,（因为积相同而且最大公约数相同，那么最小公倍数也一定相同）最后输出ans。显然，是会超时的。

接下来，我们要想办法优化这个程序。由样例可知，3，60和60，3算不同情况。所以每组数都有一个与之相反的答案，因此从m(m为最大公约数，因此1到m-1没必要枚举，它们的最大公约数不可能为m)到两数积的根号枚举一遍，每发现一组答案ans就加上2即可。

题解: