乘法逆元讲解

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题目描述：

给定 n, p 求 1 ∼ n 中所有整数在模 p 意义下的乘法逆元。

这里 a 模 p 的乘法逆元定义为 ax ≡ 1 (mod p) 的解。

输入格式：

一行两个正整数 n, p。

输出格式：

输出 n 行，第 i 行表示 i 在模 p 下的乘法逆元。

分析：

令p = k * i + r (1 < r < i < p)，其中 k 是p / i的商,  r 是余数

可得k * i + r ≡ 0 (mod p)

等式两边同时乘以i ^ {-1} * r ^ {-1}

可得k * r ^ {-1} + i ^ {-1} ≡ 0 (mod p)

即i ^ {-1} ≡ -k * r ^ {-1} ( mod p )

故：inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p

（其中， inv[i]表示 i 的逆元）

详情见代码。

代码：

#include 
using namespace std;
const int N = 3e6 + 10;
//inv[i]表示i的逆元
int n, p;
long long inv[N];

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &p);
    //1的逆元永远是本身
    inv[1] = 1;
    printf("1\n");
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        //令p = k * i + r(1 < r < i < p)，其中k是p / i的商, r是余数
        //可得k * i + r ≡ 0 (mod p)
        //等式两边同时乘以i^{-1} * r^{-1}
        //可得k * r^{-1} + i^{-1} ≡ 0(mod p)
        //即i^{-1} ≡ -k * r^{-1}(mod p)
        //故：inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p
        inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
        printf("%lld\n", inv[i]);
    }
    return 0;
}