[leetcode 198] 打家劫舍

题目

题目链接：https://leetcode.cn/problems/house-robber/

解法

简单来说就是相邻物品不能同时取。

方法一

我们使用 choose[i] 表示取（必须取）第 i 件所能得到的最大值，ignore[i] 表示放弃（必须放弃）第 i 件所能得到的最大值。

ignore[i] 可能会比 choose[i] 大，因为 choose[i] 必须取第 i 件物品，因此无法取第 i-1 件物品，但第 i-1 件物品可能价值很大。

状态转移方程如下

$$必须取i\{\begin{array}{rlr}& 取i-2：& choose[i-2]+nums[i]\\ & 放弃i-2：& ignore[i-2]+nums[i]\end{array}$$

$$必须放弃i\{\begin{array}{rl}取i-1：& choose[i-1]\\ 取i-2：& choose[i-2]\end{array}$$

代码如下

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int len = nums.size();
        if (len == 1) {
            return nums[0];
        }
        vector<int> choose(len);
        vector<int> ignore(len);
        int ans = 0;
        choose[0] = nums[0]; choose[1] = nums[1];
        ignore[0] = 0;       ignore[1] = nums[0];
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            ans = max(choose[i], ignore[i]);
        }
        for (int i = 2; i < len; i++) {
            choose[i] = max(choose[i-2], ignore[i-2]) + nums[i];
            ignore[i] = max(choose[i-1], choose[i-2]);
            ans = max(choose[i], ignore[i]);
        }
        return ans;
    }
};

方法二

其实可以把上面提到的两种状态合并，即我们只用一个数组dp，dp[i] 表示到第 i 件物品所能取得的最大值，第 i 件物品我们可取可放弃。

$$dp[i]\{\begin{array}{rlr}& 取i：& dp[i-2]+nums[i]\\ & 不取i：& dp[i-1]\end{array}$$

i=1 时，可以把 dp[-1] 当作 0 处理，保证 i=1 的时候结果是对的。

代码如下

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int len = nums.size();
        if (len == 1) {
            return nums[0];
        }
        vector<int> dp(len);
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
        for (int i = 2; i < len; i++) {
            dp[i] = max(dp[i-2]+nums[i], dp[i-1]);
        }
        return dp[len-1];
    }
};

题目升级（美团23春）

选中第 i 个用户后，i-2，i-1，i+1，i+2 不能选，问能偷的最大价值？

我们只用一个数组dp，dp[i] 表示到第 i 件物品所能取得的最大值，第 i 件物品我们可取可放弃。

$$dp[i]\{\begin{array}{rlr}& 取i：& dp[i-3]+nums[i]\\ & 不取i：& dp[i-1]\end{array}$$

初始化时，保证 i=1 和 i=2 的时候结果是对的。

题目升级（蚂蚁23春）

可以偷连续2个住户，但是不能偷连续3个住户，但连续3个住户中至少偷一个。问能偷的最大价值？

我们只用一个数组dp，dp[i] 表示到第 i 件物品所能取得的最大值，第 i 件物品我们可取可放弃。

$$dp[i]\{\begin{array}{rlr}& \_011：& dp[i-3]+nums[i-1]+nums[i]\\ & \_101：& dp[i-3]+nums[i-2]+nums[i]\\ & \_\_\_0：& dp[i-1]\end{array}$$

初始化时，保证 i=1 和 i=2 的时候结果是对的。

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上面的解法是错误的，因为 dp[i-3] 到底取没取是不确定的！第一种情况导致可能出现 0 1 1，第二种情况可能出现 1 0 1，两种情况组合起来就是 0 1 1 1 0 1。

为了把取没取的情况去的情况确定下来，必须要用两个数组 choose 和 ignore

状态转移方程如下

$$choose[i]\{\begin{array}{rlr}& 011：& ignore[i-2]+nums[i-1]+nums[i]\\ & \_01：& ignore[i-1]+nums[i]\end{array}$$

$$ignore[i]\{\begin{array}{rl}\_10：& choose[i-1]\\ \_00：& ignore[i-1]\end{array}$$

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上面的方法对于数据全为正整数时没有问题，但是如果有负数，很容易出现连续3个住户都不偷的情况。所以ignore的转移方程应该修改。

$$choose[i]\{\begin{array}{rlr}& 011：& ignore[i-2]+nums[i-1]+nums[i]\\ & \_01：& ignore[i-1]+nums[i]\end{array}$$

$$ignore[i]\{\begin{array}{rl}\_10：& choose[i-1]\\ 100：& chosse[i-2]\end{array}$$

i=0和i=1初始化一定要按照转移方程来！越界的话直接视为零。

ignore[0] = 0; ignore[1] = max(0 ,choose[0]);
choose[0] = nums[0], choose[1] = max(nums[0]+nums[1], ignore[0]+nums[1]);

题目升级（美团23春）

升级题目，不能偷连续2个住户，但有 k 次违反该规则的机会，问能偷的最大价值？

我们只用一个二维数组dp，dp[k][i] 表示有 k 次机会，到第 i 件物品所能取得的最大值，第 i 件物品我们可取可放弃，这 k 次机会可用可不用。

$$dp[k][i]\{\begin{array}{rlr}& 对第i个物品使用机会：& dp[k-1][i-1]+nums[i]\\ & 对第i个物品不使用机会：& dp[k][i-1]\end{array}$$