AtCoder Beginner Contest 236 E - Average and Median 「二分答案 + dp」

E - Average and Median

题目描述：

给定一个长度为n的序列，从中按要求挑选若干个数

• 对于所有的i，都必须从a[i]，a[i+1]中至少选一个

问取出的数产生的平均数最大是多少？中位数最大是多少？

思路：

考虑二分答案，假设二分的答案为mid

对于平均值，我们可以构造一个数组b[i]=a[i]-mid，如果选择出来的数的 $\sum b[i]>=0$，就说明平均值大于等于k，所以我们只需要求出满足条件的最大的 $\sum b[i]$来作为check的条件

对于中位数，如果选择出来的数中大于等于mid的数量大于数量的一半，则中位数大于等于mid，我们可以构造一个数组b[i] = a[i] >= mid ? 1 : -1，如果选择出来的数的 $\sum b[i]>=0$，就说明中位数大于等于mid，同意的我们只需要求出满足条件的最大的 $\sum b[i]$来作为check的条件

现在的问题转换成给定一个数组b[i]，需要满足相邻两项至少选择一项的条件下，最大的和是多少？

这就可以考虑dp了，dp[i][0]表示不选择i能产生的最大的和，dp[i][1]表示选择i能产生的最大的和

转移方程就很显然了：

$dp[i][0]=dp[i-1][1];$

$dp[i][1]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1])+b[i];$

还有需要注意的是二分平均数的时候，l和r等都是double型的，结束的条件是while(r - l >= 1e-6)

#include 
using namespace std;

#define endl '\n'
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define m_p(a,b) make_pair(a, b)
#define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define io ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0)

typedef long long ll;
typedef pair <int,int> pii;

#define MAX 300000 + 50
int n, m, k;
int tr[MAX];
double dp[MAX][2];

bool check1(double mid){
    dp[0][0] = dp[0][1] = 0.0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        dp[i][0] = dp[i - 1][1];
        dp[i][1] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + tr[i] - mid;
    }
    if(max(dp[n][1], dp[n][0]) >= 0)return true;
    else return false;
}
bool check2(int mid){
    dp[0][0] = dp[0][1] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        dp[i][0] = dp[i - 1][1];
        dp[i][1] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + (tr[i] >= mid ? 1 : -1);
    }
    if(max(dp[n][1], dp[n][0]) > 0)return true;
    else return false;
}


void work(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> tr[i];
    double l = 0, r = 1000000000.0;
    while (r - l >= 1e-6) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(check1(mid))l = mid;
        else r = mid;
    }
    int ll = 0, rr = 1000000000;
    while (ll <= rr) {
        int mid = (ll + rr) / 2;
        if(check2(mid))ll = mid + 1;
        else rr = mid - 1;
    }
    cout << r << '\n' << rr << endl;
}

int main(){
    io;
    work();
    return 0;
}