线性相关与线性无关
5.1.3线性相关与线性无关
定义1
设 V V V是数域 F F F上的线性空间， α 1 , α 2 , ⋯ , α n ∈ V \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in V α1,α2,⋯,αn∈V,如果 F F F中存在 n n n个不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k n k_1,k_2,\cdots,k_n k1,k2,⋯,kn使得 ∑ i = 1 n k i α i = θ \sum_{i=1}^n k_i\alpha_i=\theta i=1∑nkiαi=θ则称
α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性相关，否则称 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性无关.
线性无关亦可等价叙述为：
如果对 F F F中 n n n个数 k 1 , k 2 , ⋯ , k n k_1,k_2,\cdots,k_n k1,k2,⋯,kn当 ∑ i = 1 n k i α i = θ \sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i=\theta i=1∑nkiαi=θ时，必可推出 k i = 0 ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) k_i=0(i=1,2,\cdots,n) ki=0(i=1,2,⋯,n)
或者说，
只要 k 1 , k 2 , ⋯ , k n k_1,k_2,\cdots,k_n k1,k2,⋯,kn不全为0，则 ∑ i = 1 n k i α i \sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i i=1∑nkiαi必不为 θ \theta θ.
定义2
设 V V V是数域 F F F上的线性空间，对向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α n ∈ V \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in V α1,α2,⋯,αn∈V,数 k 1 , k 2 , ⋯ , k n ∈ F k_1,k_2,\cdots,k_n\in F k1,k2,⋯,kn∈F,则称 ∑ i = 1 n k i α i \sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i i=1∑nkiαi是 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn的一个线性组合.如果向量 β \beta β能够写成 ∑ i = 1 n k i α i \sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i i=1∑nkiαi,则称 β \beta β可以由 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性表出.或者说 β \beta β是 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn的线性组合.
定义3
设 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn与 β 1 , β 2 , ⋯ , β m \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m β1,β2,⋯,βm是线性空间 V V V中两组向量，如果每个 α i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) \alpha_i(i=1,2,\cdots,n) αi(i=1,2,⋯,n)都可以由向量组 β 1 , β 2 , ⋯ , β m \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m β1,β2,⋯,βm线性表出，我们就称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn可由向量组 β 1 , β 2 , ⋯ , β m \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m β1,β2,⋯,βm线性表出.若两个向量组可以互相线性表出，就称这两个向量组等价.
定理1
设 V V V是一个线性空间， α 1 , α 2 , ⋯ , α n ( n ≥ 2 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n(n \ge 2) α1,α2,⋯,αn(n≥2)是 V V V中向量，则 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性相关的充分必要条件是 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn中必有一个向量 α i \alpha_i αi可由其余的 α 1 , ⋯ , α i − 1 , α i + 1 , ⋯ , α n \alpha_1,\cdots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\cdots,\alpha_n α1,⋯,αi−1,αi+1,⋯,αn线性表出.
定理2
设 V V V是一个线性空间， α 1 , α 2 , ⋯ , α n , β \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta α1,α2,⋯,αn,β是 V V V中的向量，若 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性无关，而 α 1 , α 2 , ⋯ , α n , β \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta α1,α2,⋯,αn,β线性相关，则 β \beta β可由 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性表出，且表示法唯一.
定理3
设 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn与 β 1 , β 2 , ⋯ , β m \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m β1,β2,⋯,βm是线性空间 V V V中的两组向量，若 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn可由 β 1 , β 2 , ⋯ , β m \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m β1,β2,⋯,βm线性表出，且 n > m n>m n>m，则 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性相关. ⇓ \Downarrow ⇓
推论：
如果 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn可由 β 1 , β 2 , ⋯ , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,⋯,βn线性表出，且 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性无关，则 m ≥ n m\ge n m≥n.