近世代数 笔记与题型连载（集合论）

基本概念

1.有序对

有序对的定义：由两个元素组成的有序序列称为有序对。也称为一个序偶或二元组。
有序对的性质：

• 有序对交换顺序之后与原始有序对不相等。
• 两个有序对相等当且仅当两个有序对的对应元素分别相等。

2.集合的笛卡尔积

集合的笛卡尔积的定义：

3.二元关系

二元关系的定义：如果一个集合满足两个条件中的一个，那么这个集合就是一个二元关系：集合非空且其中的元素都是有序对；集合是空集。那么，就称这个集合是一个二元关系，简称为关系，缩写为R。

笛卡尔积和关系的联系：

• 如果一个关系是两个集合A和B的笛卡尔积的子集，那么就称该关系是从A到B的二元关系；
• 如果一个关系是集合A与自身进行笛卡尔积的子集，那么就称该关系是A上的二元关系。

关系图：关系图是二元关系的表示方法。该图以两个集合上的每一个元素作为顶点，对于存在的每一个关系，都作一条从首元素到末元素的有向边，并最终得到一个有向图，被称为关系图。

关系的性质：

• 自反性：设R是集合A上的关系，如果对于A中的任意元素x，都是关系R中的元素，那么就称关系R是自反的。在关系图中，满足自反性的关系体现为所有结点都有环。
• 对称性：设R是集合A上的关系，如果对于A中的任意两个元素x和y，当是R中的元素时，也是R中的元素，则称R是A上对称的关系。在关系图中，满足对称性的关系体现为如果任意两点之间存在边，那么一定同时存在两条方向相反的边。
• 传递性：设R为集合A上的关系，如果对于A中的任意元素x,y,z，当和都是R中的元素时，也是R中的元素，则称R是集合A上的传递关系，满足传递性。在关系图中，体现为任意三个结点之间，如果第一个结点到第二个结点有一条边，第二个结点到第三个结点之间有一条边，那么第一个结点到第三个结点之间一定存在一条边。（如果不满足前件仍然成立）

4.等价关系

等价关系的定义：对于非空集合A上的关系R，如果R同时满足自反性、对称性和传递性，那么就称R是一个等价关系。对于等价关系中的任意一个元素，都称为x等价于y。

等价关系的一般结论：非空集合上的模m同余关系是一个等价关系。

等价类的定义：设R是非空集合A上的等价关系，如果在A中存在一些元素y，使得对于A中的任意元素x，都是R中的元素，那么由这些元素y构成的集合就被称为x关于R的等价类。

商集的定义：商集是相对于集合上的一个等价关系而言的。商集是指集合中所有的元素关于此等价关系的等价类构成的集合。也可以理解为商集就是一个集合中在给定等价关系的条件下，所有等价类构成的集合。

等价类的性质：

5.集合的划分

集合的划分的定义：

等价关系和集合划分的联系：等价关系与集合划分是一一对应的关系。

• 一方面，集合上的一个等价关系确定集合的一个划分。
• 另一方面，集合的一个划分，确定该集合上的一个等价关系。

相关题型

1.求指定笛卡尔积的关系

解析：本题考查求指定笛卡尔积上的关系。
对于第一题：共有3×3=9个不同的关系，分别是,,,,,,,,。
对于第二题：共有2×3=6个不同的关系，分别是,,,,,。
对于第三题：由于b和c都是集合A中的元素，因此属于集合A上的关系。

2.关系图的绘制

3.判断关系满足的性质

解析：本题考查根据关系图判断关系是否满足自反性。
如果关系满足自反性，那么其关系图中每个结点都有环。本题中满足条件的只有3，因此本题选择C选项。

解析：本题考查根据关系图判断关系是否满足对称性。
满足对称性的关系，其关系图中如果两个不同结点之间存在边，那么一定是两条双向边。本题中满足条件的只有（1），因此本题选择A选项。

解析：本题考查根据关系图判断关系是否满足传递性。
根据满足传递性的关系的关系图应该满足的条件，如果图中存在三个结点xyz，其中x可以从y到z，那么一定存在一条x直接到z的通路。
对于(1)图，(2)存在到(1)的边，(1)存在到(3)的边，但是(2)(3)之间并没有边，因此不满足传递性。
对于(2)图，不存在一条经过三个点的通路，因此前件不满足，一定满足传递性。
对于(3)图，存在从(1)到(2)再到(3)的通路，但是不存在从(1)到(3)的通路，因此不满足传递性。

4.求指定集合上的等价关系和商集

解析：本题考查求指定集合上的等价关系和商集。
通过作出关系图可以看出，一个等价类中的点在关系图中表示为“对称的点”。因此本题中的等价类分别是{1,4,7}，{2,5,8}和{3,6}。
求出所有等价类后，只需要求三个等价类的并集即可获得商集。所以商集为{{1,4,7},{2,5,8}和{3,6}}。

解析：本题考查的内容与上一题类似，只是需要自己作出关系图。作出关系图后即可按照相同的步骤求解。

5.根据集合的划分确定一个等价关系