P7913 [CSP-S 2021] 廊桥分配 题解

题目：https://www.luogu.com.cn/problem/P7913

我好菜啊，比赛的题现在才搞明白 qaq…

思路：

定义 $in$、$out$ 数组，$i{n}_i$ 表示在每一架飞机停在编号尽可能小的廊桥的前提下，第 $i$ 号廊桥最多能停多少架国内飞机，$ou{t}_i$ 同理。

很显然当国内有 $j$ 个廊桥时，最多能停 ${\sum }_{i=1}^{j}i{n}_i$ 架飞机，国际航班同理。

于是我们就可以先预处理出 $i{n}_i$ 和 $ou{t}_i$，然后求一遍前缀和，于是 $i{n}_i$ 就表示成了国内有 $i$ 个廊桥时最多能停的飞机数，$ou{t}_i$ 同理。

最后 $O(n)$ 枚举一遍，就求出答案啦！

完结撒花

别急，我们还要考虑怎么预处理 $i{n}_i$、$ou{t}_i$。

用一个小根堆 $Q$ 维护在廊桥内的航班，小根堆 $id$ 来维护当前空余的廊桥。

当一架飞机的抵达时间大于了在廊桥内离开时间最早的飞机，就让 $Q$ 的堆顶弹出，再把这架飞机的编号塞到 $id$ 里。

当 $id$ 不为空时，就把 $id$ 的堆顶和当前飞机的离开时间塞到 $Q$ 里，意思是让当前飞机停到当前闲置的编号最小的廊桥（$id$ 的堆头总是当前闲置的编号最小的廊桥）。再将这个廊桥的贡献加一，然后 $id$ 的堆顶就可以扔掉了。

光说不好懂，可以再借助代码理解一下。

AC code:

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
template<class T>inline void read(T &s){
    int f=1; s=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f*=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    s*=f;
}
#define MAXN (int)(1e5+10)
#define debug cout<<"I f*** **F\n";
int n,m1,m2,in[MAXN],out[MAXN];
struct node{
	int beg,end;
	inline void Read(){read(beg),read(end);}
}a[MAXN],b[MAXN]; 
struct Node{
	int ID,end; 
	bool operator<(const Node&x)const{
		return x.end<end;
	}
};
priority_queue<Node> Q;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >id;
void init(){
	while(!id.empty()) id.pop();
	while(!Q.empty()) Q.pop();
	for(int i=1;i<=n;i++) id.push(i);
}
void solve1(){
	for(int i=1;i<=m1;i++){
		while(Q.size()&&Q.top().end<a[i].beg)
			id.push(Q.top().ID),Q.pop();
		if(id.size())
			Q.push((Node){id.top(),a[i].end}),
			in[id.top()]++,id.pop();
	}
}
void solve2(){
	for(int i=1;i<=m2;i++){
		while(Q.size()&&Q.top().end<b[i].beg)
			id.push(Q.top().ID),Q.pop();
		if(id.size())
			Q.push((Node){id.top(),b[i].end}),
			out[id.top()]++,id.pop();
	}
}
bool cmp(const node&x,const node&y){return x.beg<y.beg;}
signed main(){
	read(n),read(m1),read(m2);
	for(int i=1;i<=m1;i++) a[i].Read();
	for(int i=1;i<=m2;i++) b[i].Read();
	sort(a+1,a+m1+1,cmp);sort(b+1,b+m2+1,cmp);
	int ans=-114514;
	init(),solve1(); init(),solve2();
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		in[i]+=in[i-1],out[i]+=out[i-1];
	for(int i=0;i<=n;i++)
		ans=max(ans,in[i]+out[n-i]); 
	printf("%d",ans);
	return 0;
} 

完结撒花~~