数据的概括性度量

一、数据的集中趋势的度量

• 众数（mode）
• 中位数（median）
• 四分位数（quartile）：一组数组排序后处于25%和75%位置的数
• 平均数（mean）：适用于数值型数据
  应用场合：
  众数不受极端值影响，但缺点是具有不唯一性，适用于数据量较大的分类数据；
  中位数不受极端值影响，当一组数据分布偏斜较大时，适用于使用中位数，中位数适用于顺序性数据
  平均值可以利用所有样本数据的信息，但是易受极端值影响；当数据分布偏斜较大时，不适于用平均数

二、数据的离散程度的度量

• 异众比率（variation ratio）Vr
  非众数的频数占总频数的比率。该值越小，反应众数的代表性越好。适用于分类数据。
• 四分位差（quartile variation）Qv
  也称内距或四分间距，上分位数与下分位数之差。反映了中间50%数据的离散程度，一定程度上也反映了中位数对数据的代表程度。当数据中存在极端异常值时，方差和标准差较大，而采用四分位差可以更好的表现数据的离散情况，一般情况下数据上限Q3+1.5(Q3-Q1)，数据下限Q1-1.5(Q3-Q1)，不在这个范围内的数据可认为异常数据。
• 极差（range）R
  最大值与最小值的差值
• 平均差（mean deviation）或平均绝对离差（mean absolute deviation）
  各数与平均数离差绝对值的平均数，用Md表示
• 方差（variation）
• 标准差（standard deviation）
• 相对位置的度量
  1）标准分数（standard score）
  变量值与平均数差值与标准差之比。

2)经验法则
当一组数据对称分布时，经验法则表明：
约有68%的数据在平均数+-1个标准差范围之内；
约有95%的数据在平均数+-2个标准差范围内；
约有99%的数据在平均数+-3个标准差范围内；
3）切比雪夫不等式
经验法则只适用于数据对称分布的情况。对于任意分布形态的数据，采用切比雪夫不等式，至少有（1-1/k²)的数据分布在平均数+-k个标准差范围内。

• 相对离散程度：离散系数或变异系数（coefficient of variation）
  方差和标准差受原变量值自身高低水平和计量单位的影响，体现的是变量的绝对离散程度。
  为了消除这种影响，采用标准差与平均值的比值，即离散系数来衡量变量的相对离散程度。

  
  
  
  

  离散系数主要用来比较不同样本数据的离散程度。

三、数据的分布特征

• 偏态系数（coefficient of skewness），记作SK。

如果一组数据是对此的，SK=0。如果偏态系数大于1或小于-1，为高度偏态分布；如果在0.5-1或-1~-0.5，为中等偏态分布。
SK>0，称为正偏或右偏；SK<0，称为负偏或左偏。

• 峰态系数（coefficient of kurtosis），记作K
  峰态系数是与标准正态分布相比较而言的，如果一组数据服从标准正态分布，K=0，如果明显大于0，表明分布更尖，数据分布更集中；如果明显小于0，表明分布更平，数据分布更分散。