序列差分练习题--从模板到灵活运用

本篇包含6道序列差分练习题及题解，难度由模板到提高

语文成绩

题目背景

语文考试结束了，成绩还是一如既往地有问题。

题目描述

语文老师总是写错成绩，所以当她修改成绩的时候，总是累得不行。她总是要一遍遍地给某些同学增加分数，又要注意最低分是多少。你能帮帮她吗？

输入格式

第一行有两个整数 $n$，$p$，代表学生数与增加分数的次数。

第二行有 $n$ 个数，$a_1\sim a_n$，代表各个学生的初始成绩。

接下来 $p$ 行，每行有三个数，$x$，$y$，$z$，代表给第 $x$ 个到第 $y$ 个学生每人增加 $z$ 分。

输出格式

输出仅一行，代表更改分数后，全班的最低分。

样例 #1

样例输入 #1

3 2
1 1 1
1 2 1
2 3 1

样例输出 #1

2

提示

对于 $40\%$ 的数据，有 $n\le 10^3$。

对于 $60\%$ 的数据，有 $n\le 10^4$。

对于 $80\%$ 的数据，有 $n\le 10^5$。

对于 $100\%$ 的数据，有 $n\le 5\times 10^6$，$p\le n$，学生初始成绩 $ \le 100$，$z \le 100$。
差分入门模板题

#include 
using namespace std;

const int N = 5000005;

int n, p, ans;
int a[N],b[N];

int main()
{
    cin >> n >> p;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        b[i] = a[i] - a[i - 1];
    }

    while(p --)
    {
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >> z;
        b[x] += z;
        b[y + 1] -= z;
    }

    ans = 100;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        a[i] = a[i - 1] + b[i];
        ans = min(ans, a[i]);
    }

    cout << ans;
    return 0;
}

海底高铁

题目描述

该铁路经过 $N$ 个城市，每个城市都有一个站。不过，由于各个城市之间不能协调好，于是乘车每经过两个相邻的城市之间（方向不限），必须单独购买这一小段的车票。第 $i$ 段铁路连接了城市 $i$ 和城市 $i+1(1\le i<N)$。如果搭乘的比较远，需要购买多张车票。第 $i$ 段铁路购买纸质单程票需要 $A_i$ 博艾元。

虽然一些事情没有协调好，各段铁路公司也为了方便乘客，推出了 IC 卡。对于第 $i$ 段铁路，需要花 $C_i$ 博艾元的工本费购买一张 IC 卡，然后乘坐这段铁路一次就只要扣 $B_i(B_i<A_i)$ 元。IC 卡可以提前购买，有钱就可以从网上买得到，而不需要亲自去对应的城市购买。工本费不能退，也不能购买车票。每张卡都可以充值任意数额。对于第 $i$ 段铁路的 IC 卡，无法乘坐别的铁路的车。

Uim 现在需要出差，要去 $M$ 个城市，从城市 $P_1$ 出发分别按照 $P_1,P_2,P_3,\cdots ,P_M$ 的顺序访问各个城市，可能会多次访问一个城市，且相邻访问的城市位置不一定相邻，而且不会是同一个城市。

现在他希望知道，出差结束后，至少会花掉多少的钱，包括购买纸质车票、买卡和充值的总费用。

输入格式

第一行两个整数，$N,M$。

接下来一行，$M$ 个数字，表示 $P_i$。

接下来 $N-1$ 行，表示第 $i$ 段铁路的 $A_i,B_i,C_i$。

输出格式

一个整数，表示最少花费

样例 #1

样例输入 #1

9 10
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3
200 100 50
300 299 100
500 200 500
345 234 123
100 50 100
600 100 1
450 400 80
2 1 10

样例输出 #1

6394

提示

$2$ 到 $3$ 以及 $8$ 到 $9$ 买票，其余买卡。

对于 $30\%$ 数据 $M=2$。

对于另外 $30\%$ 数据 $N\le 1000，M\le 1000$。

对于 $100\%$ 的数据 $M,N\le 10^5，A_i,B_i,C_i\le 10^5$。

#include 
using namespace std;
/*
在读入p数组的时候
给两个目的地之间做好标记
用差分来标记!
这样最后再求一遍前缀和
就会出来每条路线走过的次数！
对每条路线单独判定方案即可

这题卡常了。。
忘记了，以后还是别偷懒了
*/
typedef long long  LL;
const int N = 100005, M = 100005;

LL n, m, sum;
int p[M];
LL a[N], b[N], c[N];
LL s1[N]; //差分数组
LL cnt[N]; //记录每个线路经过几次

LL ponder(int t) //t号线的最佳方案
{
    return min(a[t] * cnt[t], c[t] + b[t] * cnt[t]);
}

int main()
{//第i段铁路连接 i 和 i + 1
    cin >> n >> m;

    cin >> p[1];
    for(int i = 2; i <= m; i ++) {
        cin >> p[i];
        int a = min(p[i], p[i - 1]);
        int b = max(p[i], p[i - 1]);
        s1[a] += 1;
        s1[b] -= 1;  //这里不是b + 1哦....
    }

    for(int i = 1; i < n; i ++) {
        cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];

        cnt[i] = cnt[i - 1] + s1[i];  //顺便求前缀和
    }

    for(int i = 1; i < n; i ++) {
        sum += ponder(i);  //斟酌一下对于这条路哪个方案更好
    }

    cout << sum;
    return 0;
}

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
上面算是入门级难度，接下来的几题是差分套差分的一些经典例子

Lycanthropy

题目背景

小正方形亲眼看见了自己昔日的朋友被卷进了黑暗的深渊，然而它无力阻止……

现在它的朋友已经向它发起了攻击，因此小正方形不得不抵抗。

题目描述

我们把山顶上的湖泊看作一条长度为 $m$ 的直线，一开始水深都在水平线上，我们视作此时的水深为 ‘0’

接下来，在一瞬间，小正方形的"朋友"们跳起并扎入水中，导致在入水点的水降低而远离入水点的水升高，注意两个 “朋友” 可能在同一地点入水。

小正方形的每个朋友有一个体积数值 $v$，当体积为 $v$ 的一个朋友跳入水中，我们设入水点为 $i$，将会导致 $i-v+1$ 到 $i$ 的水位依次降低 $1,2,\cdots ,v$

同样地，第 $i$ 到 $i+v-1$ 的水位会依次降低 $v,v-1,\cdots ,1$.

相对应地，$i-v$ 的水位不变， $i-v-1$ 到 $i-2\ast v$ 水位依次增加 $1,2,\cdots ,v$， $i-2\ast v$ 到 $i-3\ast v+1$ 水位依次增加 $v,v-1,\cdots ,1$

同样，$i+v$ 水位不变，$i+v+1$ 到 $i+2\ast v$ 水位增加 $1,2,\cdots ,v$，$i+2\ast v$ 到 $i+3\ast v-1$ 水位依次增加 $v,v-1,\cdots ,1$

现在小正方形想要穿过这个湖，他想要知道在这 $n$ 个"朋友"跳入水中后湖上每个节点的水位，你能帮帮它吗？

输入格式

第一行为两个整数 $n$,$m$，表示"朋友"的数目与湖泊的宽度。

接下来 $n$ 行，一行两个整数 $v,x$，表示第 $i+1$ 个朋友的体积与入水点。

输出格式

一行 $m$ 个整数，第 $i$ 个整数表示 $i$ 号位的水深。

样例 #1

样例输入 #1

1 10
1 5

样例输出 #1

0 0 1 0 -1 0 1 0 0 0

样例 #2

样例输入 #2

2 10
2 6
3 1

样例输出 #2

-2 0 0 0 0 0 2 2 2 2

提示

对于 $30\%$ 的数据，$n<=50,m<=500$

对于 $70\%$ 的数据，$n<=10^5,m<=10^5$

对于 $100\%$ 的数据，$n<=10^6,m<=10^6,1<=v<=10000,1<=x<=m$

#include 
using namespace std;
/*
差分套差分
求两遍前缀和
*/

const int N = 1000005, M = 2000005, dif = 50000;
//dif为偏移量，避免RE

int n, m;
int h[M];
int s[M];  //初级差分数组
int s2[M]; //最外层差分
int mm = 100000000, MM;

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int v, x;
        cin >> v >> x;
        //记录下被影响到的边界
        //前缀和要从边界开始求
        mm = min(mm, x - 3 * v + 1 + dif);
        MM = max(MM, x + 3 * v + dif);

        s[x - 3 * v  + 1 + dif] += 1;
        s[x - 2 * v + 1 + dif] -= 2;
        s[x + 1 + dif] += 2;
        s[x + 2 * v + 1 + dif] -= 2;
        s[x + 3 * v + 1 + dif] += 1;
    }

    for(int i = mm; i <= MM; i ++) {
        s2[i] = s2[i - 1] + s[i];
    }

    for(int j = mm; j <= MM; j ++) {
        h[j] = h[j - 1] + s2[j];
    }

    for(int i = 1; i <= m; i ++) cout << h[i + dif] << ' ';

    return 0;
}

三步必杀

题目背景

（三）旧都

离开狭窄的洞穴，眼前豁然开朗。

天空飘着不寻常的雪花。

一反之前的幽闭，现在面对的，是繁华的街市，可以听见酒碗碰撞的声音。

这是由被人们厌恶的鬼族和其他妖怪们组成的小社会，一片其乐融融的景象。

诶，不远处突然出现了一些密密麻麻的小点，好像大颗粒扬尘一样。

离得近了点，终于看清楚了。

长着角的鬼们聚在一起，围观着另一只鬼的表演。

那”扬尘”，其实都是弹幕。

勇仪的招数之一，三步之内，所到之处弹幕云集，几乎没有生存可能。

为了强化这一技能，勇仪将对着一排柱子进行攻击。

旧地狱的柱子虽然无比坚固，但保险起见还是先要了解一下这样一套攻击对柱子有多少损伤，顺带也能检验练习的效果。

勇仪决定和其它鬼们商量商量…

“我知道妖怪之山的河童一族有一种叫做计算机的神奇道具，说不定可以借来用用”，萃香说道。

于是旧地狱的鬼族就决定请河城荷取来帮忙了。

“要记录【所有柱子的损伤程度】吗”，荷取问道。

经过进一步的询问，荷取发现他们仅仅需要【所有攻击都完成后】柱子的损伤程度。

任务了解地差不多了，荷取将其中的重要部分提取了出来，记录在了她的工作笔记本上：

(记录的内容见题目描述)

那么实验就这样开始了。

在惊天动地的碰撞声中，勇仪每完成一轮攻击，荷取都忠实地记录下对每根柱子产生的伤害。而此时勇仪就在旁边等待着记录完成，然后再进行下一轮的攻击。

地面上，天色渐晚。

“不想在这里留到深夜啊，不然就回不了家了”，荷取这样想着，手中依然在重复地向计算机中输入新产生的信息。

“真的必须一次一次地记录下每轮攻击对每个柱子产生的伤害吗？有没有更高效的方法？”这一念头在荷取的心中闪过…

（后续剧情在题解中，接下来请看T3）

题目描述

问题摘要：

$N$个柱子排成一排，一开始每个柱子损伤度为0。

接下来勇仪会进行$M$次攻击，每次攻击可以用4个参数$l$,$r$,$s$,$e$来描述：

表示这次攻击作用范围为第$l$个到第$r$个之间所有的柱子(包含$l$,$r$)，对第一个柱子的伤害为$s$，对最后一个柱子的伤害为$e$。

攻击产生的伤害值是一个等差数列。若$l=1$,$r=5$,$s=2$,$e=10$，则对第1~5个柱子分别产生2,4,6,8,10的伤害。

鬼族们需要的是所有攻击完成之后每个柱子的损伤度。

输入格式

第一行2个整数$N$,$M$，用空格隔开，下同。

接下来$M$行，每行4个整数$l$,$r$,$s$,$e$，含义见题目描述。

数据保证对每个柱子产生的每次伤害值都是整数。

输出格式

由于输出数据可能过大无法全部输出，为了确保你真的能维护所有柱子的损伤度，只要输出它们的异或和与最大值即可。

（异或和就是所有数字按位异或起来的值）

（异或运算符在c++里为^）

样例 #1

样例输入 #1

5 2
1 5 2 10
2 4 1 1

样例输出 #1

3 10

样例 #2

样例输入 #2

6 2
1 5 2 10
2 4 1 1

样例输出 #2

3 10

提示

样例解释：

样例1：

第一次攻击产生的伤害:2 4 6 8 10

第二次攻击产生的伤害:0 1 1 1 0

所有攻击结束后每个柱子的损伤程度:2 5 7 9 10。

输出异或和与最大值，就是3 10。

样例2：

没有打到第六根柱子，答案不变

数据范围：

本题满分为100分，下面是4个子任务。(x/y)表示(得分/测试点数量)

妖精级(18/3):$1⩽n$,$m⩽1000$。这种工作即使像妖精一样玩玩闹闹也能完成吧？

河童级(10/1):$s=e$,这可以代替我工作吗？

天狗级(20/4):$1⩽n⩽10^5$,$1⩽m⩽10^5$。小打小闹不再可行了呢。

鬼神级(52/2):没有特殊限制。要真正开始思考了。

以上四部分数据不相交。

对于全部的数据:$1⩽n⩽10^7$,$1⩽m⩽3\times 10^5$，$1⩽l<r⩽n$.

所有输入输出数据以及柱子受损伤程度始终在$[0,9\times 10^{18}]$范围内。

提示：

由于种种原因，时间限制可能会比较紧，C++选手请不要使用cin读入数据。

by orangebird

#include 
using namespace std;
/*
Lycanthropy那题的升级版
那题就是公差为1和-1的情况
这题需要自己算公差
差分套差分
求两遍前缀和
*/
typedef long long LL;
const int N = 10000005, M = 300005;

LL n, m, ans, MM;
LL hurt[N];
int s1[N], s2[N], h[N];


int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        LL l, r, s, e;
        cin >> l >> r >> s >> e;
        LL d = (e - s) / (r - l);  //求公差
        s1[l + 1] += d;
        s1[r + 1] -= d;
        h[l] += s;  //首项也要记录一下 
        h[r + 1] -= e; //不把这个删掉的话，后面不在这个范围内的也会累加上这个末项
    }

    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        s2[i] = s2[i - 1] + s1[i];
        hurt[i] = hurt[i - 1] + s2[i] + h[i];

        ans ^= hurt[i];
        if(MM < hurt[i]) MM = hurt[i];
    }

    cout << ans << ' ' << MM;
    return 0;
}

[Poetize6] IncDec Sequence

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的数列 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$，每次可以选择一个区间$[l,r]$，使这个区间内的数都加 $1$ 或者都减 $1$。

请问至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样，并求出在保证最少次数的前提下，最终得到的数列有多少种。

输入格式

第一行一个正整数 $n$
接下来 $n$ 行,每行一个整数,第 $i+1 $行的整数表示 $a_i$。

输出格式

第一行输出最少操作次数
第二行输出最终能得到多少种结果

样例 #1

样例输入 #1

4
1
1
2
2

样例输出 #1

1
2

提示

对于 $100\%$ 的数据，$n\le 100000,0\le a_i\le 2^{31}$。

#include 
using namespace std;
/*
首先对原序列求差分
会得到一些正负数和0
目标就是把他们全都变成0
当然，第一项随便是几都行
所以先不要去改变第一项
把第一项放到一边去

这种区间操作+1、-1
只会改变差分序列的边界
序列的中间部分是不会改变的
所以最贪心的操作就是在序列中找到一个正数一个负数
让正数-1、负数+1
对应的操作就是让原序列的中间部分整体-1
所以就在差分序列中求出正数的总和和负数的总和的绝对值
min(cnt[+], cnt[-]) 就是最贪心的操作次数
做完以后还会剩下一些没法抵消的
那么就利用两个端点
整体+1或-1来抵消
端点的选择，可以是第一项，也可以是最后一项
改变第一项的话，就会多一种答案了
所以有多少个不能抵消的
就又会有多少个不同答案
*/
typedef long long LL;
const int N = 100005;

int n;
LL a[N], d[N];
LL pos, neg;  //差分序列的正负数分别的绝对值总和
LL cnt, dif;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        d[i] = a[i] - a[i - 1];

        if(i == 1) continue;

        if(d[i] > 0) pos += d[i];
        else neg += d[i];
    }

    cnt = min(pos, abs(neg));
    dif = abs(pos - abs(neg)); //表示需要单独操作的次数

    cnt += dif;

    cout << cnt << endl << dif + 1;
    return 0;
}

[NOIP2012 提高组] 借教室

题目描述

在大学期间，经常需要租借教室。大到院系举办活动，小到学习小组自习讨论，都需要向学校申请借教室。教室的大小功能不同，借教室人的身份不同，借教室的手续也不一样。

面对海量租借教室的信息，我们自然希望编程解决这个问题。

我们需要处理接下来 $n$ 天的借教室信息，其中第 $i$ 天学校有 $r_i$ 个教室可供租借。共有 $m$ 份订单，每份订单用三个正整数描述，分别为 $d_j,s_j,t_j$，表示某租借者需要从第 $s_j$ 天到第 $t_j$ 天租借教室（包括第 $s_j$ 天和第 $t_j$ 天），每天需要租借 $d_j$ 个教室。

我们假定，租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单，我们只需要每天提供 $d_j$ 个教室，而它们具体是哪些教室，每天是否是相同的教室则不用考虑。

借教室的原则是先到先得，也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足，则需要停止教室的分配，通知当前申请人修改订单。这里的无法满足指从第 $s_j$ 天到第 $t_j$ 天中有至少一天剩余的教室数量不足 $d_j$ 个。

现在我们需要知道，是否会有订单无法完全满足。如果有，需要通知哪一个申请人修改订单。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,m$，表示天数和订单的数量。

第二行包含 $n$ 个正整数，其中第 $i$ 个数为 $r_i$，表示第 $i$ 天可用于租借的教室数量。

接下来有 $m$ 行，每行包含三个正整数 $d_j,s_j,t_j$，表示租借的数量，租借开始、结束分别在第几天。

每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从 $1$ 开始的整数编号。

输出格式

如果所有订单均可满足，则输出只有一行，包含一个整数 $0$。否则（订单无法完全满足）

输出两行，第一行输出一个负整数 $-1$，第二行输出需要修改订单的申请人编号。

样例 #1

样例输入 #1

4 3 
2 5 4 3 
2 1 3 
3 2 4 
4 2 4

样例输出 #1

-1 
2

提示

【输入输出样例说明】

第 $1$份订单满足后，$4$天剩余的教室数分别为 $0,3,2,3$。第 $2$ 份订单要求第 $2$天到第 $4$ 天每天提供$3$个教室，而第 $3$ 天剩余的教室数为$2$，因此无法满足。分配停止，通知第$2$ 个申请人修改订单。

【数据范围】

对于10%的数据，有$1\le n,m\le 10$；

对于30%的数据，有$1\le n,m\le 1000$；

对于 70%的数据，有$1\le n,m\le 10^5$；

对于 100%的数据，有$1\le n,m\le 10^6,0\le r_i,d_j\le 10^9,1\le s_j\le t_j\le n$。

NOIP 2012 提高组 第二天 第二题

2022.2.20 新增一组 hack 数据

#include 
#include 
using namespace std;
/*
明显的区间修改和单点查询
m*n的复杂度明显不行
偷看标签发现了二分。。。
确实是单调的
越是编号靠后的人
越难以成功申请到教室
因此可以用二分来优化
*/
typedef long long LL;
const int N = 1000005;

struct Order
{
    int d, s, e;

}ord[1000005];  //订单

int n, m;
LL r[N];  //每天可用于租借地教室数量

LL b[N];  //教室的差分数组，求前缀和可得教室数组a
LL a[N];

bool check(int x)  //检验x号订单能否成功
{
    memset(b, 0, sizeof b);
    memset(a, 0, sizeof a);

    for(int i = 1; i <= x; i ++) {
        int d = ord[i].d, s = ord[i].s, e = ord[i].e;
        b[s] += d;
        b[e + 1] -= d;
    }

    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        a[i] = a[i - 1] + b[i];
        if(r[i] < a[i]) return false;
    } //求一遍前缀和得到每天需要的教室数量

    return true;
}


int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    cin >> n >> m;  //天数和订单数量
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> r[i];

    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        cin >> ord[i].d;
        cin >> ord[i].s;
        cin >> ord[i].e;
    }

    int l = 1, r = m;
    while(l <= r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if(check(mid)) l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }

    if(l == m + 1) cout << 0;
    else cout << -1 << '\n' << l;

    return 0;
}