【note】指数搜索

参考文章：An almost optimal algorithm for unbounded searching

问题

有一个函数 $F:{\mathbb{N}}^{+}\mapsto \{X,Y\}$

$F(j)=\{\begin{array}{ll}X& j<n\\ Y& j\ge n\end{array}$

其中 $n$ 为未知整数，求 $n$

算法

B0（顺序查找）

依次测试 $F(1)$，$F(2)$，$F(3)$，……，直到 $F(n)=Y$

查找次数 $C_{B_0}(n)=n$

B1（二分查找）

对 $i=1,2,3,...$ ，依次测试 $F(2^i-1)$ ，直到 $F(2^m-1)=Y$ （$[\lg n]+1$ 次）（$m=[\lg n]+1$）

此时可知 $2^{m-1}\le n\le 2^m-1$，再进行二分查找（$[\lg n]$ 次）

查找次数 $C_{B_1}(n)=2[\lg n]+1$

B2

令 $F_1(i)=F(2^i-1)$ ，用 B1 算法查找到 $m$（$2[\lg ([\lg n]+1)]+1$ 次）

再进行二分查找（$[\lg n]$ 次）

查找次数 $C_{B_2}(n)=[\lg n]+2[\lg ([\lg n]+1)]+1$

总结

$C_{B_k}(n)=[\lg n]+C_{B_{k-1}}([\lg n]+1)$

要依据 $n$ 的大小选择合适的 $k$，$k$ 的规模接近 ${\lg }^{\ast }n$

应用

可以应用到一侧边界已知，另一侧边界未知（或与期望规模相差较大）的情况下，这样比二分查找的效率高