SLAM学习笔记6：李群与李代数

导引：

        在笔记4中，我们提到：三维旋转矩阵构成了特殊正交群，三维变换矩阵构成了特殊欧氏群：

        我们发现，这两个群对加法不封闭，对乘法（以及乘法意义上的求逆）是封闭的：

        对于这种只有一个（良好的）运算的集合，我们称之为群。 

一、李群与李代数基础：

1.群：

（1）群的定义：

        群是一种集合加上一种运算的代数结构。集合记为A，运算记为∙，那么群可以记为=(,∙)。

（2）群的运算性质：

（s.t.即“subject to”，使得......满足......）

（3）矩阵中常见的群：

        一般线性群GL(n)，特殊正交群SO(n)，特殊欧氏群SE(n)。

（4）群结构存在的意义：

        保证了在群上的运算具有良好的性质。

（5）李群：

        李群是指具有连续（光滑）性质的群。

        SO(3)与SE(3)在实数空间上是连续的（三维空间的刚体运动是连续的），属于李群；整数群等则是离散的群，不属于李群。

2.李代数引入（了解由来）：

 

 

  

3.李代数的定义：

  

4.李代数so(3)：

  

5.李代数se(3)：

二、指数与对数映射：

        我们已经清楚so(3)的内容，它们是一个由三维向量组成的集合，每个向量对应一个反对称矩阵，可用于表达旋转矩阵的导数。so(3)与SO(3)的关系由指数映射给定。

        接下来讨论如何计算exp(Φ^)，显然它是一个矩阵的指数。

1.SO(3)上的指数映射：

（1）计算方式1（了解）：

        对于任意矩阵的指数映射，可以进行泰勒展开：

        同样的，对于 (3) 中的任意元素 ，也可以按此方式定义指数映射 ：

         考虑到矩阵的无穷次幂难以计算，考虑另一种计算指数映射的简便方法。

（2）计算方式2：

        接下来就可以将指数映射写为： 

         得到下式，它与罗德里格斯公式如出一辙：

这说明：

1）SO(3) 实际上是由旋转矩阵组成的集合；

2）(3) 实际上是由旋转向量组成的集合；

3） 旋转矩阵的导数由旋转向量指定；

        这样，我们就把(3)中任意一个向量对应到了一个位于SO(3)中的旋转矩阵。同样，可以定义对数映射来表示李群到李代数的关系：

（3）转换关系图：

2.SE(3)上的指数映射：

        这里不再作推导，直接给出转换关系图：

三、求导与扰动模型：

        引入李代数的一大动机是进行优化，优化过程中，导数是非常重要的信息。李群中对于加法并不封闭，无法直接进行求导，因此尝试借助李代数来进行求导的相关研究。

        在标量情况下，有：

        同样，在标量情况下下式成立：

        但在计算矩阵的指数函数时，上式是否成立？也就是说，李代数的加法是否对应着李群的乘法？ 

1.BCH公式与近似形式：

        两个李代数指数映射乘积的完整形式由BCH公式给出：

        其中[]为李括号。

        BCH公式告诉我们：当处理两个矩阵的指数之积时，会产生一系列由李括号组成的余项。考虑 SO(3)上的李代数ln(exp(1∧)exp(2∧))∨,当1与2为小量时，二次以上的项都可以予以忽略。此时，BCH拥有线性近似表达：

2.李代数求导：

（1）求导模型（用李代数表示姿态，根据李代数加法对其进行求导）：

（2）SE(3)扰动模型（对李群左乘或者右乘微小扰动，对该扰动求导）：