01背包问题

        01背包（所有物品不可再分，要么整个装入背包，要么放弃，不允许出现仅选择物品的一半装入背包的情况）是属于动态规划算法的一个体现。

商店中拥有 5 件商品，它们各自的重量和收益分别是：

• 商品 1：重量 1 公斤，收益 1 元；
• 商品 2：重量 2 公斤，收益 6 元；
• 商品 3：重量 5 公斤，收益 17 元；
• 商品 4：重量 6 公斤，收益 20 元；
• 商品 5：重量 8 公斤，收益 26 元。

 你只能装11公斤物品，求利益最大化

填入的值按照这个公式来填 f [ i , j ] :f [ i -1, j ] > v [ i ] + j - w [ i ]

这句话用人话来说就是：当你需要填入这个值的时候需要（当前商品的价值加上背包剩余的价值）和 （上一个背包的价值来做比较）

背包剩余的价值：指如果放入这个商品，剩余的空间还能放些什么东西。

画表格来表示

商品种类	背包承重
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
w1 = 1，v1 = 1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
w2 = 2，v2 = 6
w3 = 5，v3 = 17
w4 = 6，v4 = 20
w5 = 8，v5 = 26

种类	背包承重
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
w1 = 1，v1 = 1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
w2 = 2，v2 = 6	0	1	6	7	7	7	7	7	7	7	7	7
w3 = 5，v3 = 17
w4 = 6，v4 = 20
w5 = 8，v5 = 26

种类	背包承重
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
w1 = 1，v1 = 1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
w2 = 2，v2 = 6	0	1	6	7	7	7	7	7	7	7	7	7
w3 = 5，v3 = 17	0	1	6	7	7	17	18	23	24	24	24	24
w4 = 6，v4 = 20
w5 = 8，v5 = 26

种类	背包承重
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
w1 = 1，v1 = 1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
w2 = 2，v2 = 6	0	1	6	7	7	7	7	7	7	7	7	7
w3 = 5，v3 = 17	0	1	6	7	7	17	18	23	24	24	24	24
w4 = 6，v4 = 20	0	1	6	7	7	17	20	23	26	27	27	37
w5 = 8，v5 = 26

 这里的23就是最优解：带入公式查看

f [ i , j ] :f [ i -1, j ] > v [ i ] + j - w [ i ]

f [ 4 , 7 ] = f [ 3 , 7 ]  > v [ 4 ] +（ 7 - w [ 4 ] ）

              = 23  > 20 + 1

原本这里放入的是21但他不是最优解，动态规划的思想是，上一个永远是上一个问题的最优解

种类	背包承重
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
w1 = 1，v1 = 1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
w2 = 2，v2 = 6	0	1	6	7	7	7	7	7	7	7	7	7
w3 = 5，v3 = 17	0	1	6	7	7	17	18	23	24	24	24	24
w4 = 6，v4 = 20	0	1	6	7	7	17	20	23	26	27	27	37
w5 = 8，v5 = 25	0	1	6	7	7	17	20	23	26	27	31	37

 26，27，37同上面一样

所以该背包的最大价值是37 由商品 3 和 商品 4 组成