大数取余（快速幂与龟速乘）

前言

在某些情况下我们需要计算$a^n$%b的结果，但当n较大时，$a^n$的结果通常无法直接保存。下面介绍两种方法（循环取余和快速幂取余）直接计算$a^n$%b的结果，无需计算$a^n$。

循环取余法

// 求 (a^n) % b —— 循环求余法
int remainder(int a, int n, int b){
    int res = 1;
    while(n--){
        res = (res * a) % b;
    }
    return res;
}

快速幂取余

首先介绍一下快速幂。我们需要计算$a^n$，可以将n写成二进制数。例如计算$3^{29}$，其中29可以写为$11101_2$，由此我们可以将$3^{29}$写为
$$3^{2^4}+3^{2^3}+3^{2^2}+3^{2^0}$$
上式中的每一项分别对应二进制数$11101_2$中的每个1。

快速幂实现如下（注意我仅使用了int类型作为演示，实际中通常使用long long）：

int fastPow(int a,int n){
	int ans=1,base=a;
	while(n>0){
		if(n&1) ans*=base;
		base*=base;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}

如果要对b取余的话，稍微改一下上面的代码即可

int fastPow(int a,int n,int b){
	int ans=1,base=a;
	while(n>0){
		if(n&1) ans=(ans*base)%b;
		base=(base%b)*(base%b);
		n>>=1;
	}
	return ans;
}

上述代码可以快速运算大数取余的结果。但如果a较大的话，中间的计算结果也可能会溢出，我们可以借助龟速乘避免溢出
一个简单的龟速乘模板如下

int lowMul(int a,int n){
	int ans=0,base=a;
	while(n>0){
		if(n&1) ans+=base;
		base+=base;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}

其原理和快速幂非常类似，这里不再详细解释。
对上述代码略作修改，即可实现龟速乘取余

int lowMul(int a,int n,int b){
	int ans=0,base=a;
	while(n>0){
		if(n&1) ans=(ans+base)%b;
		base=(base+base)%b;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}

使用快速幂和龟速乘实现大数取余的完整代码如下：

int fastPow(int a,int n,int b){
	int ans=1,base=a;
	while(n>0){
		if(n&1) ans=lowMul(ans,base,b);
		base=lowMul(base,base,b);
		n>>=1;
	}
	return ans;
}

int lowMul(int a,int n,int b){
	int ans=0,base=a;
	while(n>0){
		if(n&1) ans=(ans+base)%b;
		base=(base+base)%b;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}