信息安全数学基础（二）：欧拉函数

这篇博客将复习欧拉函数的定义及性质，然后给出三个关于欧拉函数的重要定理，最后介绍一种加速平方运算的方法（模重复平方计算法）

一.欧拉函数的性质

定理：设m1,m2是互素的两个正整数，如果k1,k2分别遍历模m1和模m2的简化剩余系，则
m2k1+m1k2遍历模m1,m2的简化剩余系

所以对于欧拉函数：
设m,n是互素的两个正整数，则f(m * n)=f(m)*f(n)
欧拉函数值的计算：
f(m)=m * Π (1-1/pk)
对于素数的幂次，其实就是f(pⁿ)=pⁿ-p^n-1

二.欧拉定理

设m是大于1的整数，如果a是满足（a,m)=1的整数，则
a^f(m)=1 (mod m)
这个定理被应用在RSA加密中，还可以用来求a的逆元等。

三.费马小定理

设p是一个素数，则对任意整数a，有a^p=a (mod p)
证明分类讨论（a,p)=1和a=n*p的情形即可

四.Wilson定理

设p是一个素数，则
（p-1)!= -1 (mod p)
证明是通过逆元的存在性，将2-p-2的数两两配对

五.模重复平方计算法

在介绍本节的方法前，想先分享一道智力题：
假设现在有1000瓶外表完全一样的水，其中有一瓶有毒，有十只小白鼠供你实验，小白鼠喝到毒后十分钟就会死亡，你会怎么样找到这瓶毒药？
这时候就有两种方法了：
1.将毒分成100组，十只小白鼠每组挨个试，最多需要1000分钟的时间
2.将毒分成100组后，始终将水一半一半的混合，按照折半查找的思想，只需要最多log（100）即70分钟即可找到毒
3.将水编号1-1000，按照二进制给十个瓶子里倒水，对应位为0时表示不倒，为1时表示倒，最后看哪几只老鼠死了就知道对应编号的水就是毒。这种方法只需要10分钟的时间。
没有读太多书的人可能只会想到方法1，一个初学程序员应该能想到方法2，而真正的程序员应该很快的想到方法3（因为2¹⁰=1024≈1000）

这个故事告诉我们，巧用二进制的思想可以方便的解决一些问题，模重复平方法也正是用了二进制的表示思想。

在模算术计算中，常常涉及大整数模m和大整数n的计算：
bⁿ( mod m)
如果你是程序员，你会怎么写这个函数？
1.递归的计算bⁿ=(b^n-1(mod m) * b) (mod m)
2.将n表示为二进制，对0对应的位置不计算，对1对应的位置i，将翻i倍的结果乘到ans中，这样最多仅需要计算2*（logn)次乘法，其实这就是模重复平方法了。非递归实现如下：