考研数二第十讲 求导平面曲线的切线和法线以及曲率圆与曲率半径和弧微分

关于函数的导数几何意义，一元函数和二元函数存在一些不同，二元或多元函数求导叫做对应的偏导数，函数求导以及平面曲线切线，法线求解或者根据已知切线求函数会与其他题型结合考察，单独出题概率比较小。曲率和曲率半径求解，需要首选理解曲率的概念，然后记住求解公式，曲率和曲率半径互为倒数。

导数的几何意义

导数的几何意义：函数y=f (x) 在x=x0处的导数 f′ (x0)，表示曲线y=f (x)在点P (x0,f (x0))处的切线的斜率k。
导数是函数的局部性质。 一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。 如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

曲线的切线方程

利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：

求曲线过点的切线方程

两曲线的公切线方程

例题：

分析 先考虑写出曲线y=f(x) 的切线方程，再写出曲线y=g(x) 的切线方程，让两切线方程的系数相等，就能得到“公切线”的方程。

曲线的法线方程

一元函数可以使用y=f(x),F(x,y)=0这两种方式来表示，求函数在某一点的切线方程(x-x0)F’x+(y-y0)F’y=0，在该点的法线方程为（x-x0)F’y -(y-y0)F’x=0造切点处满足关系(dx,dy)*(Fx,Fy)=0

曲率圆与曲率半径

曲率圆定义.:

一个圆半径越小，看起来就越弯曲；半径越大，看起来就越平；半径无限大，看起来就像一条直线，几乎不弯曲了。 —— 引言

曲率是描述曲线弯曲程度的量。弯曲程度越大、转角越大；转角相同时，弧越短、弯曲程度越大。

参数方程确定曲线的曲率表达式

弧微分

弧微分是用一条线段的长度来近似代表一段弧的长度。设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数，在曲线Y=f(x)上取定点Mo(xo，f(xo))作为计算曲线弧长的基点，M(x，y)是曲线上任意一点。
规定：(1)自变量x增大的方向为曲线的正向;(2)当弧段MoM的方向与曲线正向一致时，M0M的弧长S>0;相反时，S<0

极坐标弧微分：

参数方程弧微分：

例题

1、已知切点：直接通过求切点导数来求切线斜率，然后用点斜式方程求解切线方程.


椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

椭圆面积公式：S=π(圆周率)×a×b，其中a、b分别是椭圆的半长轴，半短轴的长。椭圆面积公式属于几何数学领域。