【信号】GPS扩频原理

本文主要介绍 GPS 是如何扩频与解扩的。

GPS 信号发送

简单来讲，GPS 数据的发送与接收分为以下几个步骤：

如图所示，在发送时首先进行扩频，然后调制（通常是 BPSK）。接收时正好相反，先解调再解扩。

调制

在调制中主要使用了三种载波（L1、L2、L5）。

L1、L2、L5 的中心频率均为原子钟核心频率 $f_0=10.23\text{ MHz}$ 的整数倍。具体的，有

• $f_1=154f_0=1575.42\text{ MHz}$
• $f_2=120f_0=1227.60\text{ MHz}$
• $f_5=115f_0=1176.45\text{ MHz}$

这样做的好处在于更加容易生成载波信号。

扩频

GPS 主要使用了三种扩频码：P 码、C/A 码、M 码。其中，M 码为军用，缺少相关资料。

P 码（Precise code）频率为 10.23 Mbps，运行在 L1 和 L2 上。P 码总长度较长，共有 $2\times 10^{14}$ bit，发送需要 37 周。每个卫星（1-32）和地面站（33-37）都被分配了其中的一部分，该部分周期为 7 天，对应的是星历更新的周期。

P 码采用的是相位调制，如图所示：

加密过后的 P 码被称为 P(Y) 码。其区别是，P(Y) 码在第四个子帧中有一个标志告诉接收器扩频码已被加密，一次来防止欺骗。

C/A 码（Civilian Acquisition code）顾名思义为民用码。他的速率为 P 码的十分之一，即 1.023 Mbps。每颗卫星的 C/A 码有 1023 位，每毫秒即可广播一次。它运行在 L1 上，旨在提供标准定位服务（SPS）。作为对比，P(Y) 码则提供的是精准定位服务（PPS）。

在设计之初，美国低估了 C/A 码的定位精准度，于是通过选择可用性 (SA) 故意降低到 95% 的时间为水平 ±100 米、垂直 ±175 米精度。这一措施直到 21 世纪初才取消。

P 码和 C/A 码的生成都利用的是线性移位反馈寄存器（LSFR）。我们以 C/A 码为例。

如图是一个典型的 C/A 码生成器结构。其中，G1 和 G2 为 LSFR。输出时，通过相位选择器选择 G2 中的两个位置做异或，所得结果再与 G1 最后一位异或，即可得到扩频码。相位选择器选择的位置共有 37 种，每个卫星或地面站均不相同。

G1 和 G2 的具体原理如下所示：

他们都利用的是有限域中的运算。其中，

• G1 为 $1+x^3+x^{10}$
• G2 为 $1+x^2+x^3+x^6+x^8+x^9+x^{10}$

根据文档，G2 寄存器设置有初始值和时延。具体的值如下所示：

不过，初始值和时延不是必须的。在没有时延的情况下，如果将初始值全部置 1，最终的结果相同。

MATLAB 仿真代码如下：

function g = C_A_Code(num)
    taps = [2 ,6 ; 3 ,7 ; 4 ,8 ; 5 ,9 ; 1 ,9 ;
            2 ,10; 1 ,8 ; 2 ,9 ; 3 ,10; 2 ,3 ;
            3 ,4 ; 5 ,6 ; 6 ,7 ; 7 ,8 ; 8 ,9 ;
            9 ,10; 1 ,4 ; 2 ,5 ; 3 ,6 ; 4 ,7 ;
            5 ,8 ; 6 ,9 ; 1 ,3 ; 4 ,6 ; 5 ,7 ;
            6 ,8 ; 7 ,9 ; 8 ,10; 1 ,6 ; 2 ,7 ;
            3 ,8 ; 4 ,9 ; 5 ,10; 4 ,10; 1 ,7 ;
            2 ,8 ; 4 ,10
        ];
    g2s = [1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0; % 1440
           1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0; % 1620
           1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0; % 1710
           1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0; % 1744
           1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1; % 1133
           1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1; % 1455
           1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1; % 1131
           1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0; % 1454
           1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0; % 1626
           1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0; % 1504
           1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0; % 1642
           1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0; % 1750
           1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0; % 1764
           1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0; % 1772
           1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1; % 1775
           1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0; % 1776
           1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0; % 1156
           1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1; % 1467
           1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1; % 1633
           1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1; % 1715
           1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0; % 1746
           1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1; % 1763
           1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1; % 1063
           1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0; % 1706
           1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1; % 1743
           1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1; % 1761
           1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0; % 1770
           1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0; % 1774
           1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1; % 1127
           1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1; % 1453
           1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1; % 1625
           1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0; % 1712
           1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1; % 1745
           1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1; % 1713
           1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0; % 1134
           1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0; % 1456
           1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1; % 1713
        ];
    delay = [5  , 6  , 7  , 8  , 17 , ...
             18 , 139, 140, 141, 251, ...
             252, 254, 255, 256, 257, ...
             258, 469, 470, 471, 472, ...
             473, 474, 509, 512, 513, ...
             514, 515, 516, 859, 860, ...
             861, 862, 863, 950, 947, ...
             948, 950
        ];
    n = 10; % size of LFSR
    L = 2^n - 1; % number of chips in a code

    g1_sel = [0 0 1 0 0 0 0 0 0 1]; % G1 generator
    g1 = ones(1, n); % G1 vector
    g2_sel = [0 1 1 0 0 1 0 1 1 1]; % G2 generator
    g2 = g2s(num, :); % G2 vector

    tap = taps(num, :);

    for i = 1 : (delay(num) - 1)
        g2 = [mod(sum(g2 .* g2_sel), 2), g2(1:n - 1)];
    end

    for i = 1 : L
        g(i) = mod(g1(n) + mod(sum(g2(tap)), 2), 2);
        g1 = [mod(sum(g1 .* g1_sel), 2), g1(1 : n - 1)];
        g2 = [mod(sum(g2 .* g2_sel), 2), g2(1 : n - 1)];
    end

利用程序，我们可以生成第一个和第二个 C/A 码：

当然，C/A 码具体的值不是我们所关心的。我们需要关心的是它的相关性。

左图为第 1 个 C/A code 自相关，右图为第 1 和第 2 个 C/A code 互相关。它们的明显区别在于：自相关有着非常突出的峰值，而互相关则没有。因此，我们可以通过识别峰值来找到正确的 C/A 码。

我们将第 1 个 C/A code 做相移（即，将尾部的一部分移动到头部），再与原来的 C/A 码做互相关，得到下图：

通过对比可以发现，尽管相移后仍然有明显的峰值，但峰值处的相关值降低了。我们做出了峰值与相移大小的关系图：

由图可以看出，它是一个完美的等腰三角形。在没有相移的情况下，相关值最大。

GPS 信号接收

接收机信号处理分为 4 个步骤，如下所示：

其中，跟踪分为载波环（用于解调）和码环（用于解扩）。这里，我们只讨论与主题有关的码环。

根据上文得到的结论，在解扩时，我们尝试使用不同的 C/A 码解扩，如果看到明显的峰值，则表明选对了 C/A 码。选择正确的 C/A 码后，需要使用峰值与相移大小的关系来使得相位对齐。具体做法如下图所示：

假设当前随意选取的相位为 P，其与最大值对应的相位差为 ${\delta }_{cp}$。我们将其向前移动 d 个相位到点 E，再向后移动 d 个相位到点 L。根据等腰三角形的性质可以得出，如果 E 和 L 的值相等，则 P 点在最大值，如下图所示。

而如果 E 和 L 不等，则需要进行调整，向左或向右偏移。然而，由于噪声等因素的存在，实际情况并不是完美的三角形（如下图所示），故无法直接计算出需要偏移的量，只能一点点尝试。

具体的流程如下所示：

右下角的环路滤波器接收计算出的偏移量，并生成实际的偏移量。具体的，计算方法为
$$\widehat{{\delta }_{cp}}(n)=(1-\alpha )\widehat{{\delta }_{cp}}(n-1)+\alpha {\delta }_{cp}(n)$$
其中，$\widehat{{\delta }_{cp}}(n)$ 为实际采用的偏移量，$\alpha$ 为滤波系数，通常取 0.05。

经过滤波器后，C/A 码晶体振荡器根据偏移量生成 C/A 码，并通过移位寄存器生成上文提到的 E 和 L。E 和 L 分别与原信号的 I 路和 Q 路相乘，并计算 1 ms 内的相关值，分别得到 $I_E,I_L,Q_E,Q_L$。然后根据
$$\begin{gathered} E=\sqrt{{I_E}^2+{Q_E}^2} \\ L=\sqrt{{I_L}^2+{Q_L}^2} \end{gathered}$$
得到幅值。

当然，前面的步骤是相干的。我们也可以使用非相干的办法，这在低信噪比的情况下表现会更好。

再计算出幅值后，进入鉴别器，计算期望的相位调整值 ${\delta }_{cp}$。具体的计算方法有三种：

• 幅值法
  $${\delta }_{cp}=\frac{1}{2}\frac{E-L}{E+L}$$

• 功率法
  $${\delta }_{cp}=\frac{1}{2}\frac{E^2-L^2}{E^2+L^2}$$

• 点积功率法
  $${\delta }_{cp}=\frac{1}{2}\frac{E-L}{P}$$

我们分别作出了这三种方法的图像：

可以看到，三条线共有三个交点。如果当前在最左侧的交点左侧，则说明 E、P、L 三点均在等腰三角形的左侧，无法继续计算；最右侧交点的右侧同理。

同时，我们可以看到幅值法是线性的——这是非常好的特性。因此，幅值法也是用得最多的方法。