014 图的数据存储结构

图的逻辑结构定义

因为图的结构比较复杂,任意两个点之间都可能存在联系, 因此无法以数据元素在内存中的物理位置来表示元素之间的关系, 也就是说, 图不可能用简单的顺序结构来表示。 下面是图的物种不同的存储结构

1 邻接矩阵

顶点不分大小，主次， 所以用一个一位数组来存储顶点是不错的选择。
而边或弧是由于顶点和顶点之间的关系确定， 一维数组搞不定， 所以考虑用一个二维数组来存储， 于是我们的邻接矩阵的方案就诞生了。

1.1 无向图例

举个例子： 下图就是一个无向图，

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顶点数组为 vertex[4]={v0,v1,v2,v3} , 边数组 arc[4][4],
对于矩阵的主对角线的值, 即 arc[0][0], arc[1][1], arc[2][2], arc[3][3], 全为0, 是因为不存在顶点到自身的边。

根据这个矩阵， 我们可以很容易的知道图中的信息，
1 判断任意两顶点是否有边无边就很容易了
2 我们要知道某个顶点的度， 其实就是这个顶点 V_i 在邻接矩阵中第 i 行(或者第i列)的元素之和, 比如顶点 V₁ 的度就是 1 + 0 + 1 + 0 = 2
3 求顶点V_i 的所有的邻接点, 就是将矩阵中第i 行元素扫描一遍, arc[i][j] 为 1 就是邻接点

1.2 有向图例

有向图讲究出度和入度, 顶点V₁ 的入度为1, 整好是 V₁ 列各数之和, 顶点V₁ 的出度为2, 即为第V₁ 行的各数之和

判断顶点是否存在弧, 只需要查找 arc[i][j] 是否为1 即可。若要求V_i 的所有邻接点, 那就把矩阵第 i 行元素都扫描一遍, 查找 arc[i][j] 为1 的顶点

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1.3 网

网: 每条边上带有权的图叫做网, 那么这些全值需要保存下来, 如何处理这个矩阵需求呢 ?
把 arc 矩阵中的 1 替换成 权重即可

如下图就是一个有向图网, 右图是它的邻接矩阵。
大于0 的数字是权重，

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2 邻接表

邻接矩阵的缺点: 当变数相对于顶点较少的图, 用邻接矩阵会造成较大的空间浪费, 如下图, 邻接矩阵中除了 arc[1][0] 有权值外, 没有其他弧, 这些存储空间都被浪费掉了。

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我们可以用数组和线性表结合起来，用于存储图， 这种方法就叫做邻接表。

邻接表的处理办法：
1 图中顶点用一个一位数组进行存储， 对于顶点数组中， 每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针， 以便于查找该顶点的边信息
2 图中每个顶点V_i 的所有邻接点构成一个线性表, 由于邻接点的个数不定, 所以用单链表存储,, 无向图称为顶点V_i的边表, 有向图则称为顶点 V_i 作为弧尾的出边表

2.1 无向图邻接表

顶点表的各个结点, 由data 和firstedge两个域表示 , data是数据域, 存储顶点的信息, firstedge是指针域, 指向边表的第一个结点, 即此结点的第一个邻接点 。 边表结点又 adjvex 和 next 两个域组成, adjvex是邻接域, 存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标, next则存储指向边表下一个结点的指针。 比如V₁ 顶点和V₀ V₂ 互为邻接点, 则再V₁ 的边表中, adjvex分别为V₀ 的0 和 V₂ 的 2

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2.2 有向图邻接表

有向图由于有方向, 所以我们以顶点为尾弧来存储边表, 这样容易得出每个顶点的出度, 但也有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧, 我们可以建立一个有向图的逆序邻接表,

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逆序邻接表

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通过邻接表, 我们很容易判断出某个顶点的入度或出度为多少, 判断两顶点是否存在弧也很容易

对于带权值的网图, 可以在边表结点定义中, 再增加一个weight的数据域, 存储权值信息即可

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3 十字链表

对于有向图来说, 邻接表是有缺陷的, 关心了入度问题, 想要了解出度就需要遍历整个图 , 关心了出度问题, 想要了解入度就需要遍历整个图。 我们可以通过十字表来解决这个问题

我们重新定义顶点表结构入下所示， 其中firstin 表示入边表头指针, firstout表示出边表头指针, 指向该顶点的出边表中的第一个结点,

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重新定义的边表结点结构如下所示:
tailvex 表示弧七点在顶点表的下标, headvex是指弧终点在顶点表中的下标, headlink是指入边表指针域, 指向终点相同的下一条边, taillink是指边表指针域, 指向七点相同的下一条边, 如果是网, 还可以再增加一个weight来存储权值。

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顶点依然存入一个一位数组， 以顶点V₀ 来说, firstout指向的是出边表中第一个结点V₃, 所以V₀边表结点的 headvex=3, 而tailvex其实就是当前顶点V₀的下标0, 用于V₀只有一个出边顶点, 所以 headlink 和taillink都是空

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0 3 表示从 V₀ 到V₃ 的边, 所以顶点0的 firstout 指向了这条边的指针,
而 V₃ 的firstInt , 也指向了这条边()的指针(在图中就是虚线⑤)

其他顶点的firstin firstout均可这么理解

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,

接下来解释虚线箭头的含义, 它其实就是此图的逆序邻接表的表示, 对于V₀lduo , 它有两个顶点,
V₁ V₂的入边, 因此 V₀ 的firstin 指向顶点V₁ 的边表结点中 headvex 为0的结点, 接着由入边 结点的headlink指向下一个入边顶点V₂的边表结点中 headvex为1的结点, 如图中的③, 顶点V₂ 和V₃ 也是同样有一个入边顶点, 如图中④和⑤

4 邻接多重表

重新定义的边表结点结构如下所示:

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其中ivex 和jvex是与某条边依附的两个顶点在 顶点表 中的下标,
ilink 指向依附顶点ivex的下一条边,jlink指向依附顶点jvex的下一条边。

如下图，总共四个顶点五条边， 因为是无向图， 所以ivex 是0, jvex是1 还是反过来都可以, 不过为了绘图方便, 都将ivex的值设置得和旁边顶点的下标一致

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接下来,我们开始把他们链接起来,
1.首先连线的 ①②③④ 就是将顶点的firstedge指向一条边, 顶点下标要与ivex的值相同
2.由于顶点V₀ 的(V₀,V₁)的边有邻边(V₀,V₂), (V₀,V₃);
所以 ⑤指向的就是 (V₀,V₃)这个邻边, 它依附于顶点 V₀, 对应的是ivex=0 时候的ilink
⑥指向的是 (V₀,V₃)这个边的邻边, 只是这时候 V₀ 在 jvex的位置
⑦指的就是(V₁,V₀) 这条边
⑧指的就是(V₁,V₂) 这条边
⑨指的就是(V₀,V₂) 这条边

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5 边集数组

边集数组由两个一维数组构成, 一个是存储顶点的信息, 另一个存储边的信息, 这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标 begin, 终点下标 end 和权 weight组成。很明显， 边集数组关注的是边的集合， 在边集数组中要查询一个顶点的度需要扫描整个边数组， 效率并不高。

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