反常积分最重要的函数之伽马函数

伽马函数

常用于概率论的计算，其实凑正态也行

$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx$

如：

1. ${\int }_0^{+\infty }{x}^5{e}^{-x}dx=\Gamma (5+1)$
2. ${\int }_0^{+\infty }\sqrt{x}{e}^{-x}dx=\Gamma (\frac{1}{2}+1)$

性质

$\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$

$\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$

$\Gamma (n+1)=n!$

例题

1. ${\int }_0^{+\infty }{x}^3{e}^{-2x}dx=\frac{1}{16}{\int }_0^{+\infty }(2x{)}^3{e}^{-2x}d(2x)=\frac{1}{16}\Gamma (3+1)=\frac{3!}{16}=\frac{3}{8}$
2. ${\int }_0^{+\infty }{x}^4{e}^{-x^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{+\infty }(x^2{)}^{\frac{3}{2}}{e}^{-x^2}d{x}^2=\frac{1}{2}\Gamma (\frac{3}{2}+1)=\frac{1}{2}\frac{3}{2}\Gamma (\frac{1}{2}+1)=\frac{1}{2}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma (\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi }=\frac{3}{8}\sqrt{\pi }$