【C++】求两个数的最大公约数——方法大全

最大公约数定义如下：

公约数，也被称为“公因数”。它是一个能被若干个整数同时均整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”，公约数中最大的整数即为“最大公约数”。

以下我将介绍8种求最大公约数的方法，这些方法中，最常用到的公约数求法的思想我已用代码实现了，并附有运行结果的分析，小伙伴看完就再也不用怕最大公约数和最小公倍数的题了！！

主要算法及示例

题目：输入任意两个数n,m，求它们的最大公约数。

1. 查找公约数法

根据已有的数学知识我们知道，m>n的话，m,n的最大公约数永远不可能是m（因为n/m不能整除），只可能是n。所以我们只需要从n开始依次向较小数找到“能同时被n,m整除的第一个整数”即为两数的最大公约数。代码实现如下：

#include
using namespace std;
int main()
{
	int n,m;
	int times = 0;
	cin>>n>>m;  //输入两个数
	int x = n<m?n:m;  //m,n的最大的公约数永远不可能是较大的那个数，只可能是较小的数
	for(x;x>=1;x--)
	{
		times ++;
		if(n%x==0&&m%x==0)   //x正好被n,m整除，则找到了x
			break;  
	}
	cout<<"循环次数为："<<times<<endl;
	cout<<"最大公约数为："<<x<<endl;
	return 0;
}

运行结果分析：

2. 更相减损法

1）判断两个数是否是偶数，如果是就用2约简至两个数都不是偶数；如果不是则执行第二步
2）假设a>b，则c = a-b，接着c与b比较，再次较大的数减去较小的数，直到较小的数与当前的差c相等。
则最大公约数等于第一步中约掉的若干个2与第二步中得出的c的乘积。

#include
#include 
using namespace std;
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	int times = 0; //循环次数
	int count = 0; //2被除的次数
	int result = 0;  //结果
	while(m%2 == 0 & n%2 == 0){
		times ++;
		count++;    //约掉2的次数
		m /= 2;
		n /= 2;
	}
	while(n!=m){   //更相减损
		times ++;
		if(n>m)n=n-m;
		else m=m-n;
	}
	result = m * pow(2,count); //pow为math中方法
	cout<<"循环次数为："<<times<<endl;
	cout<<"最大公约数为："<<result<<endl;
	return 0;
}

运行结果分析：

3. 求差判定法

如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得的差与小数的最大公约数就是原来两个数的最大公约数。
例如：求78和60的最大公约数用 78-60=18，18和60的最大公约数是6，所以78和60的最大公约数是6。

如果两个数相差较大，可以用大数减去小数的若干倍，一直减到差比小数小为止，差和小数的最大公约数就是原来两数的最大公约数。
例如：求92和16的最大公约数用 92-16=76，76- 16=60, 60-16=44，44-16=28，28-16=12，12和16的最大公约数是4，所以92和16的最大公约数就是4。

4. 分解因式法

先分别把两个数分解质因数，再找出它们全部公有的质因数，然后把这些公有质因数相乘，得到的积就是这两个数的最大公约数。
例如：求125和300的最大公约数，因为125= 5x5x5, 300=2x2x3x5x5，所以125和300的最大公约数是5x5=25。

5. 短除法

为了简便，将两个数的分解过程用同一个短除法来表示，那么最大公约数就是所有除数的乘积。
例如：求180和324的最大公约数，如下计算，因为9和5互质，所以180和324的最大公约数是2x2x9=36。

6. 除法

当两个数中较小的数是质数时，可采用除法求解，即用较大的数除以较小的数，如果能够整除，则较小的数是这两个数的最大公约数。
例如：求19和152的最大公约数。因为152/19=8(19是质数)，所以19和152的最大公约数是19。

7. 缩倍法

如果两个数没有之间没有倍数关系，可以把较小的数依次除以2、3、…直到求得的商是较大数的约数为止，这时的商就是两个数的最大公约数。
例如:求30和24的最大公约数，24/2=12，12不是30约数；24/3=8，8不是30约数；24/4=6, 6是30的约数，所以30和24的最大公约数是6。

8. 辗转相除法

代码实现：

#include
using namespace std;
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	int a=1;  //默认在最大公约数为1
	int times =0;

	if(n%m==0||m%n==0)  //若nm直接能整除，则最大公约数即是较小那个的数
	{
		times++;
		m=m<n?m:n;
	}
	
	while((a=n%m)!=0)
	{
		times++;
		n=m;
		m=a;
	}
	cout<<"循环次数为："<<times<<endl;
	cout<<"最大公约数为："<<m<<endl;
	return 0;
}

运行结果分析：

以上就是我了解到的所有方法，之前作者用C语言也实现过 求最大公约数，有问题欢迎留言讨论~

看完记得关注博主哟~ 下篇博客是牛客网的题目：求最小公倍数！