C/C++ 求两个数的最大公约数

求两个数的最大公约数
最大公约数的英文是Greatest Common Divisor，简称GCD。程序里面用gcd表示。

方法一：从定义出发最直接法
从两个数中比较大的数开始计算，找不到就减小1。比如36和12两个数，就从36开始，36不是最大公约数，然后35也不是，34也不是，33也不是。一直到，14也不是，13也不是，最后到12，所以12就是最大公约数。
比如12和8。就从12开始，12不是最大公约数，然后11也不是，10也不是，一直到8也不是，7也不是，一直到4停止。4就是最大公约数。

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
   int a,b,gcd;
   cin>>a>>b;
   gcd=a>b?a:b;
   while(a%gcd!=0||b%gcd!=0)
       gcd--;
   cout<<"最大公约数为："<<gcd<<endl;

   return 0;
}

gcd=a>b?a:b; 这一行的意思是如果a>b成立，就把a赋值给gcd，如果不成立，就把b赋值给gcd。也就是说，把两个数中比较大的值给gcd。
另外，最大公约数的求法，是“找到一个能被两个数同时整除的最大的数”。用while来执行的话，就应该是，while的循环应该是在“当找不到能被两个数同时整除的数的时候，一直执行下去”。
但是要用while来表示就比较麻烦了。while的括号里的条件应该是“a能被gcd整除而且同时b也能被gcd整除”的补集，即“a整除gcd不为零或者b整除gcd不为零”。只要“a整除gcd不为零或者b整除gcd不为零”，while就一直执行，直到找到一个gcd，能够同时被a和b整除，while才中断。
这个比较理解起来比较拗口。

执行结果：

8 12
最大公约数为：4

有的人说，为什么要从大的数开始，从比较小的数开始计算不是更好吗？可以。那么程序的gcd赋值这一行，改成gcd=a>b?b:a;
程序改成：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
   int a,b,gcd;
   cin>>a>>b;
   gcd=a>b?b:a;//把较小的值给gcd
   while(a%gcd!=0||b%gcd!=0)
       gcd--;
   cout<<"最大公约数为："<<gcd<<endl;

   return 0;
}

其他都不变。执行结果：

88 35
最大公约数为：1

方法二：辗转相除法
首先大家需要知道什么是辗转相除法。具体内容可以百度。这里简单介绍一下：
如果两个数，分别是15和49。首先用
49除以15，余数是4，
然后用15除以4，余数是3，
然后用4除以3，余数是1，
然后用3除以1，余数是0。此时的除数1就是两个数的最大公约数。
如果两个数，分别是14和49。首先用
49除以14，余数是7，
然后用14除以7，余数是0。此时的除数7就是两个数的最大公约数。
程序的算法应该是：
首先让比较大的那个数除以小的数，余数赋值给tmp。如果此时余数为0，那么小的数就是最大公约数。如果余数不为零，那么让刚才的除数成为被除数，而把tmp的值改成除数，再除一次，如果余数为零，就停止循环，如果余数还是不为零，就继续这个循环，知道余数为零为止。
这里需要把赋值传递。tmp的值给b，成为除数，b的值给a，成为被除数。

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
   int a,b,tmp;
   cin>>a>>b;
   while(tmp=a%b)
   {
       a=b;
       b=tmp;
   }
   cout<<"最大公约数为："<<b<<endl;

   return 0;
}

而且这个程序用了一个巧妙的办法，不需要一上来就比较两个数的大小。while括号中，把a%b的结果给了tmp。如果a比b大，那很好理解。如果a比b小呢，此时tmp不为零，执行while语句时，马上就把b的值给了a。比如a是12，b是36。12除以36，余数仍然是12。while括号中的值不为零，执行while语句。把36给了a，而把tmp（此时tmp=12）给了b，等于是a和b互换了一下，然后再次执行while循环：先判断while括号中的值，而此时tmp=36%12而等于0，while立刻停止执行。最大公约数就是b。

执行结果如下：

36 12
最大公约数为：12

12 36
最大公约数为：12