《重读相对论》9.3 潜水艇悖论

9.3 潜水艇佯谬

潜水艇佯谬是著名数学家、哲学家庞加莱提出的。假设一艘潜水艇在海水中保持着不上不下的悬浮状态，根据浮力定律不难得知：潜水艇的重力等于它受到的海水浮力，潜水艇的总质量量恰好等于它排开水的质量，又因为潜水艇的总体积等于它排开水的总体积，所以潜水艇的平均密度也就等于海水的密度。现在，舰长想要把潜艇提升到海面，按照标准的操作流程，他只需要把潜艇水箱内的海水排出，减少潜艇的总重量即可实现。但不幸的是，舰长发现潜水艇的排水系统出现了故障。那么，如何才能让潜水艇上浮呢，舰长想到了狭义相对论：

如图9-10所示：舰长操作潜艇高速前进，海水就会相对于潜艇向后运动，根据狭义相对论，海水会在运动方向上缩短，海水总体积就会缩小，如果海水的质量不变，那么海水的密度就会因此而增加，于是潜艇受到的浮力也会因海水密度的增大而增大，最终，由于浮力的增大，潜艇必然会浮出海面。但是，当舰长把潜艇速度提高以后，他突然意识到了一个严重的问题。

图9-10

在此过程中，如果有人选择海水作为参考系就会发现：海水的体积和密度不变，反倒是潜艇在运动方向上缩短了，因此它排开水的体积减少了，受到的浮力也因此而减少了，由于潜艇的质量和重力没有改变，而浮力却减小了，所以潜艇必将沉入海底。那么，当潜艇高速行进以后，它究竟是会浮向水面还是沉入海底呢？

自从庞加莱提出潜水艇悖论以后，很长时间都没有让人满意的答案。虽然大部分科学家都认为潜水艇会下沉，但也同样有部分人认为潜水艇会上升，甚至有人认为潜水艇将保持悬浮状态！其实这也不难理解，从心理学角度来讲，滑落悖论之所以有解，不过就是因为地球和长杆的大小不成比例，当长杆和地球发生相对运动的时候，绝大多数人都会不自觉的站在地球的立场上考虑问题。但如果相对运动的两个物体是海水和潜水艇就不同了，我们很难说服自己站在哪个立场上更准确：如果我们站在潜艇的立场上就会发现，静止的海水似乎代表了地球，和地球相比，潜艇实在太小了，所以应该站在地球的立场上更合理。但一旦我们站在海水的立场上又会发现，潜水艇之所以会前进，本来就是因为它的引擎高速向后喷水导致的，即使我们想站在“海水”的立场上考虑问题，潜艇尾部喷射出的海水也在相对于地球高速运动着。

庞加莱不愧是庞加莱，他即是哲学家又是科学家，即是数学家又是物理学家，他所提出的这个问题构思极其精巧，不仅涉及到了时间、空间的问题，而且涉及到了质量、密度、引力、浮力等问题。更重要的是，这个实验能且仅能作为一个理想实验出现，如果我们在大海中去实地开展这一实验，必然难以排除流体力学、结构力学等一系列外部因素的干扰，最终会由于实验误差太大，难以得出准确的结论。通过理论推导会导致悖论，进行现场试验又不能排除干扰，这就是潜水艇悖论难以解决的原因。接下来，我们将尝试用时空畸变的理论去解释它。

由于潜水艇佯谬只是一个理想实验，所以在解决这个问题以前，我们首先要对这个问题本身做出一些抽象假设：首先要假设地球到潜艇的距离有无穷远，因为只有这样才能让潜水艇行驶在一个绝对平直的引力空间，海平面也才能保持绝对的水平状态。其次，我们要忽略流体力学对潜艇浮力的影响，忽略潜艇因为加速而导致的结构变形。既然只是理想实验，我们也就只能在理想条件下展开分析。

首先，如果我们选择海水为参考系就会发现：潜艇在以速度v高速行驶，因此潜艇会在运动方向上发生收缩。如果我们假设潜艇静止时的长度为l0，由狭义相对论可知，其运动以后的长度l将收缩为：

由于潜艇上下左右的方向与运动方向垂直，所以潜艇的宽度、高度以及截面积保持不变，因此潜艇体积缩小的比例也就等于其长度缩短的比例，而潜艇排开水的体积，排开水的质量也就会按照同一比例缩小。根据阿基米德浮力定律，潜艇排开水的重力就是其所受到的浮力的大小。假设潜艇截面积为s，静止时的体积为V0，静止时所受到的浮力为F0，运动时受到的浮力为F，则潜艇行进后的体积V和浮力F分别为：

显然，F0，所以当潜艇以速度v前进以后，其所受到的浮力必然会减小。在潜艇行使前，潜艇重力G等于其所受到的浮力F0，现在，浮力减小了而重力却没有变化，看来，潜艇应该会因为浮力的减小而下沉。

那么，如果我们以潜水艇作为参考系观察，结果又会如何呢？此时，潜艇上的观察者会认为，潜艇和无穷远处的地球都处于相对静止的状态，潜艇受到的重力一直保持竖直向下，而海水正在以速度v向后运动。由于狭义相对论的作用，海水也会在运动方向上收缩。假设海水的质量不变，海水的密度就会因为体积的缩小而增大，其增大的比例与体积缩小的比例成反比，假设海水静止时的密度为ρ0，运动后的密度为ρ，潜艇静止时所受到的浮力为F0，运动时受到的浮力为F’，则有：

由于F’>F0，所以潜艇所受到的浮力变大，在重力不变

的条件下，潜艇似乎应该上浮。应该如何解决这一对矛盾呢？同滑落悖论类似，我们只需要站在潜艇的中点观察，就可以发现问题的本质。如图9-11所示：现在，我们依然假设潜艇静止，海水在向后流动，为了进一步认清事实的真相，我们可以截取与潜艇相接触的一段海水A’O’B’分析一下，看这段海水在流经潜艇AOB时会发生哪些变化：

当海水的中点O’经过舰艇中间的O点时，由于时间延时效应，如果我们从O点上观察，暂时还收不到A’B’经过AB两点的消息，只有当O’点经过O点一段时间后，B’经过B的消息才会传递到O点。在此过程中，我们会认为O’B’>OB；同理，由于A’B’的长度小于AB，我们会认为O’A’的长度远远小于OA。

图9-11

也就是说，从潜艇中部的O点观察，潜艇前部O’B’的海水伸长了，后部O’A’的海水缩短了。这也就意味着，潜艇O’B’部分的海水体积增大了，密度降低了，因而给潜艇的浮力减小了；而潜艇后部O’A’部分的海水体积减小了，密度增大了，因而对潜艇的浮力增大了。前部浮力减小，潜艇的头部就会下沉，后部浮力增大，潜艇的尾部就会上升；在前后两部分浮力差的作用下，潜艇还是会头重尾轻的向斜下方驶去。结果如图9-12所示：即使我们站在潜艇上观察，结果仍然是潜艇会下潜。

看到这里，一定有人产生疑惑：海水的密度分明都是均匀的，怎么会一部分密度增大，另一部分密度减小呢？尽管我们站在了潜艇中部的O点，但是我们看到的也仅仅是由于光信号延迟所导致的现象，海水的密度应该是固定的，不会因为观察点的位置而变化。况且，如果这个说法成立的话，还会出现另一种自相矛盾的场景：

假设我们站在潜艇尾部的A点向前观察就会发现：整个潜艇所在位置的海水长度都伸长了，密度都降低了，因此，潜艇受到的总浮力减小了，结果必然下沉；反过来，如果我们站在潜艇头部的B点向后观察则会发现：整个潜艇所在位置的海水长度都减小了，密度都增大了，因此，潜艇受到的浮力又会增大，潜艇必然上浮。这一对新的矛盾又应该如何解释呢？

的确，无论从A点、B点还是O点观察，我们所看到的都只是现象而不是物理事实。但我们同样不能否认，从O点观察到的现象要比AB两点观察到的现象更接近于事实！因为OA、OB的长度相等，所以只有从O点所在位置观察，时间延时的影响才可以尽量抵消。因此，只有在O点所看到的“同时”发生的事件，才能被认定为“事实”上同时发生。那么，我们又为什么要否定O点所看到的海水密度差异呢？其实在相对论中，不仅时间可变，长度可变，体积可变，密度可变，就连质量本身也是可变的。对于质量变化，我们将在下一章展开讨论。接下来，我们要分析狭义相对论中最后一个棘手的问题：双生子佯谬。