（邱维声）高等代数课程笔记：数域
（邱维声）高等代数课程笔记：数域
\quad 回顾一下上一节的 主定理：
定理 1：在有理数集（或实数集、复数集）内， n n n 元线性方程组的解有且仅有以下 3 3 3 种情况：无解，有唯一解，有无穷多解。
\quad 思考一下，为什么要限定在有理数集（或实数集、复数集）内呢？
\quad 原因在于：在将 n n n 元线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化为阶梯形矩阵时，需要做加、减、乘、除四种运算。为了不影响方程组的求解，我们需要对这四种运算封闭。
\quad 什么是“集合对这四种运算封闭”？简单来说，就是集合中任意两个数的加、减、乘、除（除数不为零）后，仍属于该集合。
\quad 举个例子，在整数集内，即使形如 2 x = 1 2x = 1 2x=1 的简单方程，也是无解的！
\quad 由中学的数学知识可知，有理数集、实数集、复数集显然对加、减、乘、除运算封闭。
\quad 现在，我们可以受此启发，抽象出“数域”的概念。
定义 1. 数域：复数集的一个非空子集 K K K 若满足：
( i ) 1 ∈ K (i) ~ 1 \in K (i) 1∈K;
( i i ) a , b ∈ K ⟹ a ± b ∈ K , a b ∈ K (ii) ~ a,b \in K \Longrightarrow a \pm b \in K,ab \in K (ii) a,b∈K⟹a±b∈K,ab∈K;
( i i i ) a , b ∈ K 且 b ≠ 0 ⟹ a b ∈ K (iii) ~ a,b \in K ~ \text{且} ~ b \ne 0 \Longrightarrow \frac{a}{b} \in K (iii) a,b∈K 且 b=0⟹ba∈K.
则称 K K K 是一个 数域。
\quad 为了指明数域 K K K 的零元是 0 0 0，单位元是 1 1 1，通常会增强 定义 1 的条件为 定义 2。可以验证，二者是等价的！
定义 2. 数域：复数集的一个非空子集 K K K 若满足：
( i ) 0 , 1 ∈ K (i) ~ 0,1 \in K (i) 0,1∈K;
( i i ) a , b ∈ K ⟹ a ± b ∈ K , a b ∈ K (ii) ~ a,b \in K \Longrightarrow a \pm b \in K,ab \in K (ii) a,b∈K⟹a±b∈K,ab∈K;
( i i i ) a , b ∈ K 且 b ≠ 0 ⟹ a b ∈ K (iii) ~ a,b \in K ~ \text{且} ~ b \ne 0 \Longrightarrow \frac{a}{b} \in K (iii) a,b∈K 且 b=0⟹ba∈K.
则称 K K K 是一个 数域。
\quad 显然，有理数集 Q \mathbb{Q} Q、实数集 R \mathbb{R} R、复数集 C \mathbb{C} C 都是数域。而整数集 Z \mathbb{Z} Z 显然不是数域，因为它对除法不封闭！
\quad 另外，由 定义 1 或 定义 2 可知，复数集 C \mathbb{C} C 是最大的数域！
\quad 了解一下 数系扩充 ：
- 自然数集对加法、乘法封闭，对减法不封闭。自然数集通过引入减法得到整数集；
- 整数集对加、减、乘封闭，对除法不封闭。整数集通过引入除法得到有理数集合；
- 有理数集对加、减、乘、除（除数不为零）封闭；
- 实数集对加、减、乘、除（除数不为零）封闭；
- 复数集对加、减、乘、除（除数不为零）封闭。
可以猜测：有理数集是最小的数域，任何数域都包含有理数域。
\quad 猜想是正确的，下面给出证明。
定理 1：任一数域都包含有理数域。
证明：
\quad 设 K K K 为任一数域，因此 0 , 1 ∈ K 0,1\in K 0,1∈K. 由于 K K K 对加法封闭，因此
2 = 1 + 1 ∈ K , 3 = 2 + 1 ∈ K , ⋯ , n = ( n − 1 ) + 1 ∈ K , ⋯ 2 = 1 + 1 \in K,3 = 2 + 1 \in K,\cdots,n = (n-1)+ 1 \in K,\cdots 2=1+1∈K,3=2+1∈K,⋯,n=(n−1)+1∈K,⋯
因此 N ⊆ K \mathbb{N} \subseteq K N⊆K. 从而对任一自然数 n n n，有
− n = 0 − n ∈ K . -n = 0 - n \in K. −n=0−n∈K.
因此 Z ∈ K \mathbb{Z} \in K Z∈K. 进而任一分数
a b ∈ K ( b ≠ 0 ) . \frac{a}{b} \in K ~(b \ne 0). ba∈K (b=0).
因此 Q ⊆ K \mathbb{Q} \subseteq K Q⊆K.
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\quad 以后，考虑严谨性，我们在讨论线性方程组时，总是假定在一个数域 K K K 中进行，称“数域 K K K 上的线性方程组”。同样的在讨论矩阵时，我们也总是假定是“数域 K K K 上的矩阵”。
\quad 显然，上一节的主定理对于任意数域 K K K 上的线性方程组都成立。
教材例题 1.
参考：
- 邱维声. 高等代数课程.