【数据结构】堆（笔记总结）

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【本章内容】

一、树的概念及结构

1.1 什么是树

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n ≥ 0)个有限结点组成的一个具有层次关系的集合，把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是说，二叉树是根朝上，而叶是朝下的。

如上图所示，树可以分成根和子树。举个例子，A是根，则BEFJ、CGKL、DHI就是子树；接下来B也能称为根，则EFJ就是他的子树，后面以此类推，因此树是递归定义的

• 注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

以上三种皆不是树形结构。那什么样的才算是树呢？

1. 子树是不相交的。
2. 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点。
3. 一颗N个结点的树有N-1条边。

1.2 树的相关概念（常见）

1. 结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度（根的孩子的个数）。如上图，A作为根，其结点的度为6.
2. 叶子结点：度为0的结点（无孩子的）。如上图，B、C、H、I、P、Q、K、L、M、N都是叶结点
3. 父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
4. 孩子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
5. 树的高度（深度）：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
6. 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
7. 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

1.3 树的结构

左孩子有兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* LeftChild1;  // 左孩子结点
	struct Node* Brother; // 兄弟结点
	DataType data; // 结点中的数据
};

二、二叉树的概念及结构

2.1 概念

一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 可能为空。
2. 或者由一个根结点加上两颗别称为左子树和右子树组成。

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点，也就是说，二叉树的根的孩子不能超过2个（计划生育的树hh）
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下5种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树

• 满二叉树：如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

那么接下来问题来了，如果说一个二叉树的高度为K，如何推算出满二叉树的结点总数呢？

从上图中，对每一层的个数分析，发现这就是一个等比数列，因此，可以利用等比数列求和公式来算出结点总数，满二叉树结点总数为：2ⁿ - 1

• 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构。它是由满二叉树而引出来的。

完全二叉树结构特点：

1. 假设有k层，前k-1层是满的
2. 最后一层要求从左到右是要连续的

问：下面是否是完全二叉树？

答案：不是，因为它的最后一层不连续。

最后一个问题，如果说一个二叉树的高度为K，求完全二叉树结点总数的范围？
答案：[2^k-1，2^k - 1]

解析：
首先，满二叉树是一种特殊的完全二叉树，所以结点个数最多的情况就是满二叉树，因此个数为2^k - 1
最后，最小的极限情况就是当完全二叉树最后一层只有一个结点的时候。因此，可以先计算前k - 1层的结点总数，根据等比数列求出个数为：2^k-1 - 1，然后再加上最后一层的最后一个节点，因此，结果就为：2^k-1
【例题】
一颗完全二叉树的结点个数 为531个，那么这棵树的高度为多少？B
A 11
B 10
C 8
D 12
做法：将ABCD代入[2^k-1，2^k - 1]，若531在其范围内，则就是答案。

2.3 二叉树的性质

对任何一颗二叉树，如果度为0（叶结点）的结点个数为n0，度为2的结点个数为n2，则有n0 = n2 + 1（度为0的永远比度为2的多一个）
【证明】

【例题1】
某二叉树共有399个结点，其中有199个度为2的结点，则该二叉树中的 叶节点个数为多少？
答案 ： 200
解析：
首先叶结点就是度为0的结点，然后根据性质：n0 = n2 + 1，即可得出叶结点的个数为200

【例题2】
在具有2n个结点的完全二叉树中，叶结点的个数为多少？

三、堆

3.1 二叉树的顺序结构

1. 普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为它会存在空间浪费的情况（如下图）
   

2. 从物理的角度看（实实在在在内存中的存储）：二叉树顺序存储是一个数组；从逻辑的角度看（想象出来的）：它是一个二叉树 （如上图a）

3. 我们通常把堆（一种二叉树）使用顺序结构的数据来存储。需要注意的是，这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
   

3.2 堆的性质

我们通常把堆（一种二叉树）使用顺序结构的数据来存储，但是存储并没有什么意义，因此引入了堆的性质（结构）

• 堆的性质：

1. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值
2. 堆总是一棵完全二叉树

3.3 堆的结构

• 小根堆又称小堆，其特点是：父亲结点总小于或等于孩子结点
• 大根堆又称大堆：其特点是：父亲结点总大于或等于孩子结点
  

3.4 堆的作用及父子关系

在实现堆之前，先说明堆的作用及父子关系

• 堆的作用

常用来频繁变动的数据集中找出最值。 比如，小堆的根结点是整个二叉树中最小的，大堆的根结点是整个二叉树最大的。还能找到次大（次小）的，只要删除堆顶元素，再重新建堆，即可实现。

• 父子关系

通过下标关系，不难可以写出以下关系

1. 如何找到父亲结点：parent = （child - 1）/ 2
2. 如何找到左孩子结点 ：leftchild = parent * 2 + 1
3. 如何找到右孩子结点：rightchild = parent * 2 + 2（右孩子比左孩子的下标多1）

四、堆的实现

4.1 准备工作

为了方便管理，我们可以创建多个文件来实现
test.c - 测试代码逻辑 （源文件）
heap.c - 动态的实现 （源文件）
heap.h - 存放函数的声明 （头文件）
【工具：visual studio】

4.2 常见接口

【heap.h】

typedef int hptypedata;

typedef struct heap
{
	hptypedata* a;
	int size;
	int capacity;
}hp;


//结构体初始化
void HeapInit(hp* hph);

//尾插
void HeapPush(hp* hph, hptypedata x);

//头删
void HeapPop(hp* hph);

//堆顶元素
hptypedata HeapTop(hp* hph);

//判断堆是否为空
bool HeapEmpty(hp* hph);

//堆的个数大小
int HeapSize(hp* hph);

//堆的销毁
void HeapDestroy(hp* hph);

void HeapPush(hp* hph, hptypedata x);

//向上调整
void AdjustUp(hptypedata* a, int child);

//向下调整
void AdjustDown(hptypedata* a, int parent);

4.3 堆的初始化

【heap.c】

void HeapInit(hp* hph)
{
	assert(hph);

	hph->a = (hptypedata*)malloc(sizeof(hptypedata) * 4);
	if (hph->a == NULL)
	{
		perror("hph->a :: malloc");
		return;
	}
	hph->capacity = 4;
	hph->size = 0;
}

其实就是顺序表的初始化，详情 —>[传送门]

4.4 堆的尾插

void Swap(hptypedata* p1, hptypedata* p2)
{
	hptypedata tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

void AdjustUp(hptypedata* a, int child)
{
	//找到父亲节点
	int parent = (child - 1) / 2;

	while (child > 0) //while (parent >= 0)
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			//交换完迭代继续
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		//如果尾插的节点不比其父亲大，就没必要比了
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPush(hp* hph, hptypedata x)
{
	assert(hph);

	// 可能会扩容
	if (hph->size == hph->capacity)
	{
		hptypedata* tmp = (hptypedata*)realloc(hph->a, sizeof(hptypedata) * hph->capacity * 2);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("tmp :: realloc");
			return;
		}
		hph->a = tmp;
		hph->capacity *= 2;
	}
	//插入
	hph->a[hph->size] = x;
	hph->size++;
	
	//向上调整
	AdjustUp(hph->a, hph->size - 1);
	//hph->size - 1 指的是尾插元素（孩子）的下标
}

【笔记总结】

以上代码以大堆为例

1. 首先尾插后，由于还要保持大堆的性质，如果尾插的结点要比其父结点大，就要进行向上调整
   【动图展示】
   
2. 为什么多了一个交换函数Swap?
   因为后面一些接口也会交换两个数，为了让代码复用，因此写了一个Swap函数
3. 在向上调整中，不用while (parent >= 0)的原因
   首先这个循环条件也是可以正常运行的。但是，当parent迭代指向根节点(下标0)，此时执行了if语句，child就迭代到根节点，其parent = (0 - 1) / 2 = 0，循环结束后parent等于0还是会进入循环，而此时parent和child同时在根节点，虽然不会死循环，但是有点多次一举，就像庄周带净化
4. 向上调整有一个前提：除了child这个位置，前面的数据必须保持堆的性质

4.5 堆的头删

void AdjustDown(hptypedata* a, int n,int parent)
{
	//假设左孩子一开始最大
	int child = parent * 2 + 1;
	//当child走到叶子节点循环结束，也就是说它不能超过数组的大小
	while (child < n)
	{
		//判断右孩子是否真的比左孩子大
		//注意还要防止数组越界
		if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
		{
			child++;
		}

		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			//迭代
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPop(hp* php)
{
	assert(php);
	//空的顺序表不能删
	assert(!HeapEmpty(php));

	//不能挪动数据删，一方面效率低下，另一方面父子关系会乱
	//正确方法：交换头尾，再进行尾删
	
	//交换
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	//尾删
	php->size--;

	//保证是大堆性质，进行向下调整
	AdjustDown(php->a, php->size,0);
}

【笔记总结】

1. 为什么堆有头删却没有尾删？
   首先堆的尾删是没有意义的，即使删了尾，它还是个堆。
   而头删是有意义的，当它和heaptop接口配合起来。当它是大堆时，就能选出第一大、第二大…小堆也是如此
2. 头删为什么不能直接删头？
   第一点：顺序表头删效率低
   第二点：即使头删会导致关系混乱
   正确做法：先头尾交换，再删掉尾（间接把头删了），最后再进行向下调整
3. 在向下调整的过程中，由于要满足大堆的性质，当前的根结点要与自己的两个孩子比较大小，大的那个作为新的根。那么如何优雅的比较呢？首先可以利用假设逻辑，假设一开始左孩子最大，然后再判断是否左孩子真的大于右孩子，如果右孩子真的大于左孩子，则让child++，因为左孩子和右孩子的下标关系相差1
4. 向下调整的前提是：左右子树都要保持大堆或者小堆的性质

【动图展示】

4.6 堆顶元素

hptypedata HeapTop(hp* php)
{
	assert(php);
	return php->a[0];
}

下标为0的元素即是堆顶元素

4.7 判断堆顶是否为空

bool HeapEmpty(hp* hph)
{
	assert(hph);

	return hph->size == 0;
}

4.8 堆的大小

int HeapSize(hp* hph)
{
	assert(hph);

	return hph->size;
}

4.9 堆的销毁

void HeapDestroy(hp* hph)
{
	assert(hph);

	free(hph->a);
	hph->a = NULL;
	hph->size = 0;
	hph->capacity = 0;
}