洛谷 P5657 [CSP-S2019] 格雷码

【题目链接】

洛谷 P5657 [CSP-S2019] 格雷码

【题目考点】

1. 递归

【解题思路】

解法1：递归

递归问题：求n位格雷码中的第k号二进制串
递归关系：
根据题目描述：
n位格雷码

• 由n-1位格雷码的$2^{n-1}$个二进制串按顺序排列加前缀0，构成前$2^{n-1}$个格雷码，编号为$0\sim 2^{n-1}-1$
• 由n-1位格雷码的$2^{n-1}$个二进制串按逆序排列加前缀1，构成后$2^{n-1}$个格雷码，编号为$2^{n-1}\sim 2^n-1$

要查询的是n位格雷码的第k号二进制串，先比较k与$2^{n-1}$

• 如果$k<2^{n-1}$，则查找n-1位格雷码中的第k号二进制串，在前面再加上前缀0，即为n位格雷码的第k号二进制串。
• 如果$k\ge 2^{n-1}$，n位格雷码第k号二进制串是编号$2^{n-1}\sim 2^n-1$的格雷码中的第$k-2^{n-1}$个数字（从0开始）。
  该二进制串去掉前缀1后，为在n-1位格雷码的逆序序列中的第$k-2^{n-1}$个数字

推导对于正向、逆向都从0开始数的长为n的序列，逆向第i个数字是正向第几个数字

逆向	正向
0	n-1
1	n-2
2	n-3
…	…
n-1	0
i	n-1-i

因此，在n-1位格雷码的有$2^{n-1}$个元素的逆序序列中的第$k-2^{n-1}$个数字，在正序序列中编号为$2^{n-1}-1-(k-2^{n-1})=2^n-1-k$
（代码中将该表达式写为$2^{n-1}-k-1+2^{n-1}$，以避免当n为64时，数据值超过unsigned long long可以表示的范围）
查找n-1位格雷码中的第$2^n-1-k$号二进制串，在前面再加上前缀1，即为n位格雷码的第k号二进制串。
递归出口：当n为1时，只有1位格雷码。k为0时，第0号格雷码为"0"。k为1时，第1号格雷码为1。
【注意】：n最大为64，且$k<2^n$，那么k最大为$2^{64}-1$，应该使用unsigned long long类型来保存k以及二进制串对应的数值。
为了方便得到2的幂，可以先使用递推方法预处理出一个数组保存2的幂。

解法2：二进制转为格雷码

如将k转为二进制数后共有m位，从低位到高位的编号为0， 1， …, m-1。

例：k为13，二进制编码为：1101，
第3位为1，第2位为1，第1位为0，第0位为1

• 格雷码的第n-1位与二进制数的第n-1位相同
• i 小于n-1时，如果数值的二进制编码从右边开始数的第 i 位和 i+1 位相同，则对应的格雷码的第 i 位为0，否则为1。
  也就是说：格雷码第i位 = 二进制数第i位 异或 二进制数第i+1位

将数值k右移1位，得到k1。k1的第i位就是k的第i+1位。
将k与k1异或，即可得到格雷码。

【题解代码】

解法1：递归

#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
ULL pow2[70];//pow2[i]:2^i的值 
string solve(ULL n, ULL k)//求n位格雷码中的第k号二进制串
{
	if(n == 1)//1位格雷码 
	{
		if(k == 0)
			return "0";
		else//k == 1 
			return "1"; 
	}
	if(k < pow2[n-1])
		return "0"+solve(n-1, k);//查找n-1位格雷码中的第k号二进制串，在前面再加上前缀0
	else//k >= pow2[n-1]
		return "1"+solve(n-1, pow2[n-1]-k-1+pow2[n-1]);//查找n-1位格雷码中的第2^n-1-k2号二进制串，在前面再加上前缀1
}
void initPow2()//预处理生成2的幂 
{
	pow2[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= 63; ++i)
		pow2[i] = pow2[i-1]*2; 
}
int main()
{
	initPow2();
	ULL n, k;
	cin >> n >> k;
	cout << solve(n, k);
	return 0;
}

解法2：二进制转为格雷码

#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
int main()
{
	string s;
	ULL n, k, a;
	cin >> n >> k;
	a = k ^ (k >> 1);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)//格雷码必须有n位，不足则前面补0 
	{
		s = char(a%2+'0')+s;
		a /= 2;
	}
	cout << s;
	return 0;
}