信息学奥赛一本通 1323：【例6.5】活动选择 | 洛谷 P1803 凌乱的yyy / 线段覆盖

【题目链接】

ybt 1323：【例6.5】活动选择
洛谷 P1803 凌乱的yyy / 线段覆盖
注意：ybt 1323数据个数最大为$10^3$， 洛谷P1803数据个数最大为$10^6$

【题目考点】

1. 贪心

2. 贪心选择性质的证明

要想证明贪心选择可以得到最优解，只需要证明最优解包含每一次的贪心选择。
使用数学归纳法：

1. 证明最优解包含第一次的贪心选择
2. 假设存在最优解包含前k次的贪心选择，证明该最优解包含第k+1次的贪心选择

【解题思路】

解法1：选择结束时间最早的活动

1. 贪心选择性质的证明：

贪心选择：每次选择不与已选择活动重叠的结束时间最早的活动

1. 证明：存在最优的活动选择方案包含第一次贪心选择：结束时间最早的活动g

使用反证法：假设所有最优解都不包含结束时间最早的活动g
对于某一最优解，活动序列按结束时间排序为：$a_1,a_2,...,a_n$，显然其中没有活动g。如果将活动$g$替换活动$a_1$，由于$g$的结束时间比$a_1$早，不会与后面的活动发生重叠。活动选择方案为$g,a_2,a_3,...,a_n$，该方案中的活动数量与先前的方案的活动数量相同。先前的方案是活动数量最多的最优解，那么这个方案也是最优解，而这个方案中包含了活动g，这与假设相悖。因而原命题得证。

2. 证明：在k次贪心选择后，存在最优的活动选择方案包含第k+1次的贪心选择：不与前面重叠的结束时间最早的活动g。

使用反证法：假设所有最优解都不包含活动g
对于某一最优解，活动序列按结束时间排序为：$a_1,a_2,...,a_k,a_{k+1},a_{k+2},...,a_n$，前k个活动是通过贪心选择得到的。
根据活动g的定义，活动g的结束时间一定早于活动$a_{k+1}$的结束时间，而且不与$a_k$重叠。
如果用活动g替换活动$a_{k+1}$，那么活动方案$a_1,a_2,...,a_k,g,a_{k+2},...,a_n$的活动数量与原方案是一样的，原方案是活动数量最多的最优解，替换后的方案同样也是最优解，其中包含活动g，这与假设相悖。因而原命题得证。

2. 具体做法

用结构体对象存储各个活动的开始和结束时间。按活动的结束时间对活动进行升序排序。顺序取各个活动，只要该活动与前一个选择的活动不重叠（即该活动的起始时间不早于已经选择的最后一个活动的结束时间），那么就选择该活动。统计活动数量。

解法2：选择开始时间最晚的活动

贪心选择：每次选择不与已选择活动重叠的开始时间最晚的活动
其正面方法与解法1中的类似，不再赘述。
具体做法：
按开始时间对活动进行降序排序。顺序取各个活动，只要当前活动的结束时间不晚于已经选择的最后一个活动的开始时间，那么就选择该活动。统计活动数量。

【题解代码】

解法1：选择结束时间最早的活动

注意：ybt 1323中，数组长度N可以设为1005， 洛谷P1803数组长度N必须设为1000005

#include
using namespace std;
#define N 1000005
int b[N], e[N];
struct Act
{
    int begin, end;
};
Act act[N];
bool cmp(Act a, Act b)
{
    return a.end < b.end;
}
int main()
{
    int n, actNum = 0, lastAct = 0;//lastAct:当前已经选择的活动中最后一个活动 
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d %d", &act[i].begin, &act[i].end);
    sort(act+1, act+1+n, cmp);//按照结束时间从小到大排序 
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if(lastAct == 0 || act[i].begin >= act[lastAct].end)//如果第i个活动在当前最后的活动后面开始 
        {
            actNum++;//选择第i活动 活动数量加1 
            lastAct = i;
        }
    }
    printf("%d", actNum);
    return 0;
}

解法2：选择开始时间最晚的活动

#include
using namespace std;
#define N 1000005
struct Act
{
    int begin, end;
};
Act act[N];
bool cmp(Act a, Act b)
{
    return a.begin > b.begin;
}
int main()
{
    int n, actNum = 0, lastAct = 0;//edNow:当前已经选择的活动的最后截止时间 
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d %d", &act[i].begin, &act[i].end);
    sort(act+1, act+1+n, cmp);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if(lastAct == 0 || act[i].end <= act[lastAct].begin)//如果第i个活动在当前最后的活动后面开始 
        {
            actNum++;//选择第i活动 
            lastAct = i;
        }
    }
    printf("%d", actNum);
    return 0;
}