《程序员面试金典（第6版）》 面试题 08.13. 堆箱子（动态规划，与最长上升子序列问题相关的组合问题，C++）

题目描述

堆箱子。给你一堆n个箱子，箱子宽 wi、深 di、高 hi。箱子不能翻转，将箱子堆起来时，下面箱子的宽度、高度和深度必须大于上面的箱子。实现一种方法，搭出最高的一堆箱子。箱堆的高度为每个箱子高度的总和。

输入使用数组[wi, di, hi]表示每个箱子。

示例1:

• 输入：box = [[1, 1, 1], [2, 2, 2], [3, 3, 3]]
• 输出：6

示例2:

• 输入：box = [[1, 1, 1], [2, 3, 4], [2, 6, 7], [3, 4, 5]]
• 输出：10

提示:

• 箱子的数目不大于3000个。

解题思路与代码

这道题的目的是，让我们去堆箱子，看n个箱子能够堆到的最大高度是多少。但是呢，如何去堆这个箱子，它是有限定条件的。需要保证的是，整个箱子塔的结构，就和一个锥子一样。下面一层的箱子的长宽高，必须都大于上面一层箱子的长宽高，等于都不行。

拿到这道题的一瞬间，我脑子里面的思路是，这道题似乎可以用动态规划去解决它。果不其然，确实能用动态规划去解决。下面，就让我们看看，究竟该如何使用动态规划去解决这道题。

方法一： 动态规划 + 排序

首先我们先拿这个箱子的一个维度，去拍个序（降序）。这样我们至少就是已经处理好一个维度的事情了。那么现在剩下的其实就是两个维度。到了两个维度以后呢，我们就可以很好的使用动态规划的思想去解决它啦~。

这里说一下，如果没有去降序，其实后面的操作，就会变得很麻烦，因为要后面要写动态规划的代码的话，必须要以一个某个维度最大的去作为基石，然后才能去逐步更新，直到最后解决问题。

我们拿动态规划的五步法，去解决这道题。

第一步，确定dp数组以及下标的含义：

• 我们定义一个一维的动态规划数组dp，其中dp[i]表示以第i个箱子为底的最大堆箱子高度。

第二步，确定推导公式（状态转移方程）

• 在求以第i个箱子为底的最大堆箱子高度时，需要我们去遍历箱子索引从 0 到 i - 1 的所有箱子，并且找到宽带、深度、高度都大于第i个箱子的箱子j，然后再去更新dp[i] 的值。
  对于满足条件的箱子j，我们有：

  if(box[j][0] > box[i][0] && box[j][1] > box[i][1] && box[j][2] > box[i][2])
                      dp[i] = max(dp[i],dp[j] + box[i][2]);
  

  • dp[i] = max(dp[i], dp[j] + box[i][2])；这个公式，就是我们的推导公式，也就是状态转移方程
  • 只要箱子j比箱子i大，我们就可以进行一次判定，到底是以i为底的dp[i]大，还是以j为底的dp[j]再加上一个箱子i更大
  • 谁更大，那么更新后的dp[i]的值就等于谁。

第三步，初始化dp数组：

• 我们需要将 dp[i] 初始化为第 i 个箱子的高度，因为至少可以将每个箱子都单独成为一个箱子塔去堆放箱子：
  • dp[i] = box[i][2] 所以要用这样一个公式，去初始化dp数组。

第四步，确定遍历顺序：

• 首先，我们需要对箱子按照宽度、深度和高度的降序进行排序。这样，我们可以确保在遍历时，我们总是从一个更大的箱子到一个更小的箱子。

• 然后，我们从第一个箱子开始遍历，对于每个箱子 i，我们需要遍历所有小于 i 的箱子 j（即 j 从 0 到 i-1）。对于每个满足宽度、深度和高度都大于第 i 个箱子的箱子 j，我们根据递推公式更新 dp[i]。遍历完成后，dp 数组中的最大值就是最高的一堆箱子的高度。

第五步，举例推导dp数组

• 这一步的目的是让你先去纸上涂涂画画，看看自己有没有哪里可能出现了差错。检查步骤

这道题具体的代码如下：

class Solution {
public:
    int pileBox(vector<vector<int>>& box) {
    	//降序排序箱子的高度
        sort(box.begin(),box.end(),[](vector<int>& a, vector<int>& b){return a[2] > b[2];});
        vector<int> dp(box.size(),0);
        int maxHeight = 0;
        for(int i = 0; i < box.size(); ++i){
            dp[i] = box[i][2];
            for(int j = 0; j < i; ++j)
                if(box[j][0] > box[i][0] && box[j][1] > box[i][1] && box[j][2] > box[i][2])
                    dp[i] = max(dp[i],dp[j] + box[i][2]);
            maxHeight = max(maxHeight,dp[i]);
        }
        return maxHeight;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：

• 排序：sort 函数的时间复杂度是 O(n * log(n))，其中 n 是箱子的数量。
  动态规划遍历：这段代码包含两层循环，外层循环遍历每个箱子，内层循环遍历当前箱子之前的所有箱子。因此，动态规划遍历的时间复杂度是 O(n^2)。
  由于 O(n^2) 大于 O(n * log(n))，所以整段代码的时间复杂度是 O(n^2)。

空间复杂度：

• dp 数组：dp 数组的大小为 n，因此空间复杂度是 O(n)。
  综上，这段代码的时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

总结

说实话，这道题没有想象中的难。虽然说这是一道hard难度的题。但是我感觉它的难度像是middle，hhhhhh。可能是我变强了吧。继续加油，再接再厉。