【二分图算法】手把手教你学会：染色法（判断二分图）、匈牙利算法（二分图的最大匹配）

• 博主简介：努力学习的大一在校计算机专业学生，热爱学习和创作。目前在学习和分享：算法、数据结构、Java等相关知识。
• 博主主页： @是瑶瑶子啦
• 所属专栏: 算法 ；该专栏专注于蓝桥杯和ACM等算法竞赛
• 近期目标：写好专栏的每一篇文章

‍一、二分图介绍

就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。（不一定是连通图）

二、染色法 —— 二分图的判断

如何判断一个图是不是二分图呢？我们用到一个叫作染色法的算法来判断，接下来我将进行详细的讲解。

2.1：基本思想+原理

基本思想
对每一个点进行染色操作，只用黑白两种颜色；

• 如果图中存在奇数环（构成环的顶点数量是奇数），那一定不是二分图），下图可以看到，依次选一个点，进行染色（原则是相邻的点要染于该点不同色），奇数环的染色结果会出现矛盾。；【必要性】
  
• 如果不含奇数环，一定是二分图【充分性】
  如果没有奇数环，那么剩下的点的关系就是：偶数环or单链。这两种情况都能保证同一条边上相邻顶点在不同集合中，所以也是成立的；
  

总结

用dfs和bfs两种方式去实现,对图进行遍历并染色；由于上面原理可知，二分图一定不含奇数环，不含奇数环的图一定为二分图

所以，只要在染色过程中不存在矛盾（这里用黑白进行染色，即一个点不能即为黑色，又为红色），整个图遍历完成之后，所有顶点都顺利染上色。就说明这是一个二分图！

2.2:具体实现+算法模板

• 用一个color[N]数组来映射存储每个点的颜色，值为-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色

• 遍历所有点，每次将未染色的点进行dfs, 默认染成0或者1（下面选中默认染成0）

• 在遍历点和给点染色的过程中，如果染色不成功（比如先前的color是0，这次要更新即染成1，就说明存在矛盾，无法成功二分染色），可以立刻停止染色，该图一定不是二分图

  例如以下，某次遍历到A点，对A dfs，更新到c点时，c原来是红色，但是由于和B相连，这次dfs中应该被染成绿色，但它之前是红色，说明矛盾（本质还是由于一条边的两个点在同一个集合中）
  

• 反之，没有遇到矛盾，到达最后，说明完美遍历了所有点并且成功染色，即可判断该图就是二分图

算法模板
时间复杂度是 O(n+m), n 表示点数，m 表示边数

int n;      // n表示点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储图
int color[N];       // 表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色

// 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色
bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (color[j] == -1)
        {
            if (!dfs(j, !c)) return false;
        }
        else if (color[j] == c) return false;
    }

    return true;
}

bool check()
{
    //初始化color数组
    memset(color, -1, sizeof color);
    bool flag = true;//标记变量，一旦发现染色过程中出现矛盾，置为false
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (color[i] == -1)//如果该点没有被染色，dfs该点并染色
            if (!dfs(i, 0))//如果出现矛盾
            {
                flag = false;
                break;
            }
    return flag;
}


作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/blog/content/405/
来源：AcWing

2.3：染色法模板题

AcWing 860. 染色法判定二分图

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环。

请你判断这个图是否是二分图。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示点 u 和点 v 之间存在一条边。

输出格式

如果给定图是二分图，则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围

1≤n,m≤105

输入样例：

4 4 1 3 1 4 2 3 2 4

输出样例：

Yes

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010;

int n, m;

int h[N], e[M], ne[M], idx;//邻接矩阵存储边
int color[N];//顶点的颜色标记,0表示没有染色，1表示白色，2表示黑色

void add(int a, int b){
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool dfs(int u, int c){
    color[u] = c;
    
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if (!color[j]){
            if (!dfs(j, 3 - c)) return false;
        }
        else if (color[j] == c) return false;//发生矛盾
    }
    
    return true;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    memset(h,-1,sizeof h);//初始化邻接表
    
    while (m--){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b),add(b,a);//无向图，要存两条边
    }
    
    bool flag = true;//判断是否是二分图
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        if (!color[i]){//若当前点没有染色
            if (!dfs(i, 1)){//把当前点染成白色，并且对它dfs(给相关点也染色)
                //if判断成立，说明dfs = false，出现矛盾
                flag = false;
                break;
            }
        }
        
    if (flag)  puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}

三、匈牙利算法 —— 二分图的最大匹配

3.1：什么是二分图的最大匹配？

• 匹配（本质是一个边的集合！）
  给定一个二分图S，在S的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

• 极大匹配
  极大匹配是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。（也就是说，再加入任意一条不在匹配集合中的边，该边肯定有一个顶点已经在集合中的边中了）

• 最大匹配
  所有极大匹配当中边数最大的一个匹配

• 最大匹配问题
  选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题

eg:下图是一个最大匹配（黄色边）

一个形象的比喻 来理解最大匹配s问题（联系上图）

3.2：基本思路

匈牙利算法准则：待字闺中，据为己有；名花有主，求他放手。

请记住上面的比喻关系，我将用上面的比喻关系来阐述这个算法的基本思路

• 从第一个男嘉宾A号开始，遍历看和他有恋爱可能的女嘉宾（即相邻的红色点）是否已经牵手成功，如果待牵手，那就直接牵手。即，此时A和2牵手成功
  

• A号男生牵手成功后，依次向下遍历，此时到了B号男生，同理，他也可以直接和1号女嘉宾牵手
  

• 同理，C号男生，遍历和他有恋爱可能的女嘉宾→2号，发现她已经和A号男嘉宾牵手成功了（哭唧唧）；but,C号男嘉宾非常的执着，他认为虽然2号女嘉宾和A号牵手了，但是他还有戏！C号男嘉宾先顺着2号女嘉宾看看A号男嘉宾是不是还有其他备胎！（看看是不是还有其他相邻的红色点且待牵手），发现A号男嘉宾有个备胎4，C号男嘉宾居然强行让A和4牵手！自己趁机独占2号！
  

• 以下的操作同理此处不过多赘述

3.3：具体实现+算法模板

时间复杂度是 O(nm), n 表示点数，m 表示边数（实际允许时间远小于nm)*

int n1, n2;     // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储所有边（因为要遍历每个点的出边，用邻接表比较方便），匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边

int match[N];       // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个(方便之后那想和当前已经牵手的执着男嘉宾顺着这个女嘉宾找过去，看看对面那个男嘉宾有没有备胎！
bool st[N];     // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过

bool find(int x)
{
    //枚举以下x的出边(即和x有恋爱可能的女嘉宾）
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])//如果还没有被考虑过，
        {
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))//待牵手，或者和这个女生已经牵手的男生有其他备胎！
            {
                match[j] = x;//在find里面，保证了match[j]和他的备胎牵手；在当前函数内，保证了x牵手成功，即x和j是一对啦~
                return true;
            }
        }
    }
    //1）该男嘉宾第一个for就没进去，即一个有恋爱可能的女生都没有
    //2）有恋爱可能的女生都牵手成功了，且她们的男嘉宾都没有备胎~
    return false;
}

// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;//res存最大匹配集合中边的数量
for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
{
    memset(st, false, sizeof st);//初始化所有女嘉宾状态，表示这些女嘉宾对于当前遍历的男嘉宾i来说，还没有考虑过
    if (find(i)) res ++ ;//有一对牵手成功，res++
}

作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/blog/content/405/
来源：AcWing

3.4:模板题目

861. 二分图的最大匹配

给定一个二分图，其中左半部包含 n1 个点（编号 1∼n1），右半部包含 n2 个点（编号 1∼n2），二分图共包含 m 条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式

第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围

1≤n1,n2≤500, 1≤u≤n1, 1≤v≤n2, 1≤m≤105

输入样例：

2 2 4 1 1 1 2 2 1 2 2

输出样例：

2

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];
bool st[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool find(int x)
{
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
    {
        memset(st, false, sizeof st);
        if (find(i)) res ++ ;
    }

    printf("%d\n", res);

    return 0;
}

---

• Java岛冒险记【从小白到大佬之路】
  
• LeetCode每日一题–进击大厂
• 算法