车辆运动学与动力学建模

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前言

车辆运动学与动力学建模

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一、运动学建模

车辆转向运动模型如下图所示。在惯性系OXY下，$(X_r,Y_r)$和$(X_f,Y_f)$分别为车辆后轴和前轴轴心的坐标，$\phi$为车体的横摆角(航向角)，${\delta }_f$为前轮偏角，$v_r$为车辆后轴中心速度，$v_f$为车辆前轴中心速度，$l$为轴距。
$R$为车轮后轮转向半径，$P$为车辆的瞬时转动中心，$M$为车辆后轴轴心，$N$为前轴轴心。此处假设转向过程中车辆质心侧偏角保持不变，即车辆瞬时转向半径与道路曲率半径相同。

在后轴行驶轴心$(X_r,Y_r)$处，速度为：
$$v_r={\dot{X}}_{r}cos\phi +{\dot{Y}}_{r}sin\phi \text{\hspace{1em}(1)}$$
前、后轴的运动学约束为：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{X}}_{f}sin(\phi +{\delta }_f)-{\dot{Y}}_{f}cos(\phi +{\delta }_f)=0\\ {\dot{X}}_{r}sin\phi -{\dot{Y}}_{r}cos\phi =0\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
由1 2 联合得：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{X}}_r=v_{r}cos\phi \\ {\dot{Y}}_r=v_{r}sin\phi \end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
根据前后轮的几何关系可得：
$$\{\begin{array}{l}{X}_f=X_r+lcos\phi \\ Y_f=Y_r+lsin\phi \end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
将 3 和 4 代入 2，可解得横摆角速度为：
$$\omega =\frac{v_r}{l}tan{\delta }_f\text{\hspace{1em}(5)}$$
式中，$\omega$为车辆横摆角速度；同时，由$\omega$和车速$v_r$可得到转向半径$R$和前轮偏角${\delta }_f$：
$$\{\begin{array}{l}R=v_r/\omega \\ {\delta }_f=arctan(l/R)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
由公式 3 和 5 可得到车辆运动学模型为：
[ X ˙ r Y ˙ r φ ˙ ] = [ c o s φ s i n φ t a n δ f / l ] v r (7) \begin{bmatrix} \dot X_r \\ \dot Y_r \\ \dot \varphi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\varphi \\ sin\varphi \\ tan\delta_f / l \end{bmatrix} v_r \tag{7} ​X˙r​Y˙r​φ˙​​ ​= ​cosφsinφtanδf​/l​ ​vr​(7)
该模型可被进一步表示为更一般的形式：
$${\dot{\xi }}_{kin}=f_{kin}({\xi }_{kin},u_{kin})\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中，状态量${\xi }_{kin}=[X_r,Y_r,\phi {]}^T$，控制量$u_{kin}=[v_r,{\delta }_f{]}^T$。在无人驾驶车辆的路径跟踪控制过程中，往往希望以$[v_r,\omega ]$作为控制量，将式 5 代入式 7 中，该运动学模型可以被转换为如下形式：
[ X ˙ r Y ˙ r φ ˙ ] = [ c o s φ s i n φ 0 ] v r + [ 0 0 1 ] ω (9) \begin{bmatrix} \dot X_r \\ \dot Y_r \\ \dot \varphi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\varphi \\ sin\varphi \\ 0 \end{bmatrix} v_r + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \omega \tag{9} ​X˙r​Y˙r​φ˙​​ ​= ​cosφsinφ0​ ​vr​+ ​001​ ​ω(9)

二、车辆动力学建模

理想化假设：

1. 假设无人驾驶车辆在平坦路面上形式，忽略车辆垂向运动
2. 悬架系统及车辆是刚性的，忽略悬架运动及其对耦合关系的影响。
3. 只考虑纯侧偏轮胎特性，忽略轮胎里的纵向耦合关系
4. 用单轨模型来描述车辆运动，不考虑在和的作用转移
5. 假设车辆行驶速度变化缓慢，忽略前后轴的载荷转移
6. 忽略纵向和横向空气动力学

  基于以上6点假设，平面运动车辆只具有3个方向的运动，即纵向、横向和横摆运动。设定车辆为前轮驱动。满足以上设定的平面运动车辆单轨模型如图所示。其中，坐标系$oxyz$为固定于车身的车辆坐标系。$xoy$处于车辆左右对称的平面内，车辆质心所在点为坐标原点$o$，$x$轴为沿车辆纵轴，$y$轴与车辆纵轴方向垂直，而$z$轴满足右手法则，垂直于$xoy$且向上。坐标系$OXY$为固定于地面的惯性坐标系，也满足右手法则
  $F_{lf},F_{lr}$：前、后轮胎的纵向受力
  $F_{ef},F_{er}$：前、后轮胎受到的侧向力
  $F_{xf},F_{xr}$：前、后轮胎受到的$x$方向的力
  $F_{yf},F_{yr}$： 前、后轮胎受到的$y$方向的力

  根据牛二定律，分别得沿$x$轴、$y$轴和$z$轴的受力平衡方程

在$x$轴方向上：
$$m\ddot{x}=m\dot{y}\dot{\phi }+2F_{xf}+2F_{xr}\text{\hspace{1em}(10)}$$
在$y$轴方向上：
$$m\ddot{y}=-m\dot{x}\dot{\phi }+2F_{yf}+2F_{yr}\text{\hspace{1em}(11)}$$
绕$z$轴方向上：
$$I_z\ddot{\phi }=2a{F}_{yf}-2b{F}_{yr}\text{\hspace{1em}(12)}$$

其中$a,b$分别为质心到前、后轴的距离，$m$为车辆质量，$I_z$为车辆绕$z$轴的转动惯量。

  轮胎在$x$方向和$y$方向上受到的合力与纵、侧向力的转换关系如下：
$$F_{xf}=F_{lf}cos{\delta }_f-F_{ef}sin{\delta }_f\text{\hspace{1em}(13)}$$
$$F_{xr}=F_{lr}cos{\delta }_r-F_{er}sin{\delta }_r\text{\hspace{1em}(14)}$$
$$F_{yf}=F_{lf}sin{\delta }_f-F_{ef}cos{\delta }_f\text{\hspace{1em}(15)}$$
$$F_{yr}=F_{lr}sin{\delta }_r-F_{er}cos{\delta }_r\text{\hspace{1em}(16)}$$
  轮胎的纵向力、侧向力可以表示为轮胎侧偏角、滑移率、路面摩擦系数和垂向载荷等参数的复杂函数：
$$F_l=f_l(\alpha ,s,\mu ,F_z)\text{\hspace{1em}(17)}$$
$$F_e=f_e(\alpha ,s,\mu ,F_z)\text{\hspace{1em}(18)}$$
式中，$\alpha$为轮胎侧偏角，$s$为滑移率，$\mu$为路面摩擦系数，$F_z$为轮胎所受到的垂向载荷。

  轮胎的侧偏角$\alpha$可以由几何关系得到：
$$\alpha =ta{n}^{-1}\frac{v_c}{v_l}\text{\hspace{1em}(19)}$$
式中，$v_c$和$v_l$位轮胎在侧向、纵向的速度，可以用坐标系方向的速度$v_x$和$v_y$表示：
$$v_l=v_{y}sin\delta +v_{x}cos\delta \text{\hspace{1em}(20)}$$
$$v_e=v_{y}cos\delta -v_{x}sin\delta \text{\hspace{1em}(21)}$$
式中，$\delta$为轮胎侧转角。

  轮胎的速度往往难以直接获取，一般可以通过车辆速度计算得到。根据上图中的速度关系可以推导出以下转换关系：
$$\begin{array}{cc}{v}_{yf}=\dot{y}+a\dot{\phi }& v_{yr}=\dot{y}-b\dot{\phi }\end{array}\text{\hspace{1em}(22)}$$
$$\begin{array}{cc}{v}_{xf}=\dot{x}& v_{xr}=\dot{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(23)}$$
  轮胎在地面上的滑移率$s$可以由以下算式计算：
$$s=\{\begin{array}{l}rv{\omega }_t/v-1(v>r{\omega }_t,v\ne 0)\\ 1-v/(r{\omega }_t)(v<r{\omega }_t,{\omega }_t\ne 0)\end{array}\text{\hspace{1em}(24)}$$
式中，$r$为车轮半径，${\omega }_t$为车轮旋转角速度。

  假设车辆行驶速度变化缓慢，忽略前后轴的载荷转移，可以通过以下算式计算得到车辆前、后轮胎所受到的垂向载荷：
$$F_{zf}=\frac{bmg}{2(a+b)}\text{\hspace{1em}(25)}$$
$$F_{zr}=\frac{amg}{2(a+b)}\text{\hspace{1em}(26)}$$
  最后，考虑车身坐标系与惯性坐标系之间的转换关系，可得：
$$\dot{Y}=\dot{x}sin\phi +\dot{y}cos\phi \text{\hspace{1em}(27)}$$
$$\dot{X}=\dot{x}cos\phi -\dot{y}sin\phi \text{\hspace{1em}(28)}$$
  结合式(10~28)，可以的到车辆非线性动力学模型。通过算式间的代换，除了路面摩擦系数$\mu$和滑移率$s$外，其他参数都可以由车辆状态信息计算得到。路面摩擦系数$\mu$为道路固有信息，给定道路条件后就能获取。把滑移率$s$作为系统的控制量，将有效改善车辆在低附着路面的行驶性能，但对与滑移率的控制本身就是一个复杂的控制问题。因此，假设被控制车辆具备良好的防抱死制动系统(ABS)，滑移率始终保持在最佳工作点，将系统描述为以下状态空间表达式：
$$\begin{array}{c}{\dot{\xi }}_{dyn}=f_{dyn}({\xi }_{dyn},u_{dyn})\\ {\eta }_{dyn}=h_{dyn}({\xi }_{dyn})\end{array}\text{\hspace{1em}(29)}$$
  在该系统中，状态量选取为${\xi }_{dyn}={\left[\dot{y},\dot{x},\phi ,\dot{\phi },Y,X\right]}^T$，控制量选取为$u_{dyn}={\delta }_f$(仅考虑前轮转向车辆，${\delta }_r$视为0)，输出量选取为${\eta }_{dyn}={\left[\phi ,Y\right]}^T$。在实际的控制过程中，路面摩擦系数$\mu$和滑移率$s$视为已知量，该模型即模型预测控制器中预测模型的基础。

轮胎模型采用简化后的魔术公式