(邱维声)高等代数课程笔记:克莱默法则

克莱默(Cramer)法则

\quad 本节主要介绍一个重要的定理——Cramer 法则。

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋯ ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n (1) \begin{cases} \begin{aligned} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} &= b_{1}\\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} &= b_{2}\\ \cdots \cdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad &\quad\\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} &= b_{n} \end{aligned} \tag{1} \end{cases} a11x1+a12x2++a1nxna21x1+a22x2++a2nxn⋯⋯an1x1+an2x2++annxn=b1=b2=bn(1)

定理 1:设 ( 1 ) (1) (1) 数域 K K K 上的由 n n n 个方程构成的 n n n 元线性方程组,则:

  • ( 1 ) (1) (1) 无解或有无穷多解 当且仅当 其系数矩阵的行列式为零。
  • ( 1 ) (1) (1) 有唯一解 当且仅当 其系数矩阵的行列式不为零。

证明:

\quad 增广矩阵 A ~ → 初等行变换 \tilde A \xrightarrow{\text{初等行变换}} A~初等行变换 阶梯形矩阵 J ~ \tilde{ J} J~.

\quad 系数矩阵 A → 上述初等行变换 A \xrightarrow{\text{上述初等行变换}} A上述初等行变换 阶梯形矩阵 J J J J J J J ~ \tilde{J} J~ 少一列。

\quad 线性方程组解的情况及其判别准则 可知, ( 1 ) (1) (1) 的解有且只有三种情况:无解,有无穷多解,有唯一解。并且:

  • J ~ \tilde{J} J~ 有非零行 ( 0 , 0 , ⋯   , 0 , d ) (0,0,\cdots,0,d) (0,0,,0,d) d ≠ 0 d\ne 0 d=0 时,方程组无解;
  • 否则,方程组有解。
    • 当方程组有解时,若满足 J ~ \tilde{J} J~ 的非零行数目 r < n rr<n,则方程组有无穷多解;
    • 当方程组有解时,若满足 J ~ \tilde{J} J~ 的非零行数目 r = n r=n r=n,方程组有唯一解。

方程组 ( 1 ) 无解 ⇔ J ~ 有非零行 ( 0 , 0 , ⋯   , 0 , d ) ,其中  d ≠ 0 ⇔ J 有零行 ⇒ ∣ J ∣ = 0 \begin{aligned} \text{方程组} (1) \text{无解} &\Leftrightarrow \tilde{J} \text{有非零行} (0,0,\cdots,0,d) \text{,其中} ~ d\ne 0\\ &\Leftrightarrow J \text{有零行}\\ &\Rightarrow |J|=0 \end{aligned} 方程组(1)无解J~有非零行(0,0,,0,d),其中 d=0J有零行J=0

方程组 ( 1 ) 有无穷多解 ⇔ J ~  的非零行数目  r < n ⇔ J ~  有零行 ⇒ J 有零行 ⇒ ∣ J ∣ = 0 \begin{aligned} \text{方程组} (1) \text{有无穷多解} &\Leftrightarrow \tilde{J} ~ \text{的非零行数目}~ r方程组(1)有无穷多解J~ 的非零行数目 r<nJ~ 有零行J有零行J=0

方程组 ( 1 ) 有唯一解 ⇔ J ~ 的非零行数目 r = n ⇔ J ~ 有 n 个非零行 ⇔ J 有 n 个非零行 ⇔ J 有 n 个主元 ⇔ J 的形状只能是: ( c 11 c 12 ⋯ c 1 n 0 c 21 ⋯ c 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ c n n )  且 c 11 , c 22 , ⋯   , c n n ≠ 0. ⇔ ∣ J ∣ 为上三角行列式,且 ∣ J ∣ ≠ 0. \begin{aligned} \text{方程组}(1) \text{有唯一解} &\Leftrightarrow \tilde{J} \text{的非零行数目} r=n \\ &\Leftrightarrow \tilde{J} \text{有} n \text{个非零行}\\ &\Leftrightarrow J \text{有} n \text{个非零行}\\ &\Leftrightarrow J \text{有} n \text{个主元}\\ &\Leftrightarrow J \text{的形状只能是:} \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} &\cdots &c_{1n}\\0 &c_{21} &\cdots &c_{2n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ 0 &0 &\cdots &c_{nn}\end{matrix}\right) \\ &\quad ~ \text{且} c_{11},c_{22},\cdots ,c_{nn} \ne 0.\\ &\Leftrightarrow |J| \text{为上三角行列式,且} |J|\ne 0. \end{aligned} 方程组(1)有唯一解J~的非零行数目r=nJ~n个非零行Jn个非零行Jn个主元J的形状只能是: c1100c12c210c1nc2ncnn  c11,c22,,cnn=0.J为上三角行列式,且J=0.

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:个人觉得,在 定理 1 的证明中,前部分证明似乎是多余的!前者完全可以作为后者的推论得出!


推论 1:数域 K K K 上的由 n n n 个方程构成的 n n n 元齐次线性方程组只有零解 当且仅当 其系数矩阵的行列式不为零。

推论 2:数域 K K K 上的由 n n n 个方程构成的 n n n 元齐次线性方程组有非零解 当且仅当 其系数矩阵的行列式等于零。


定理 2:数域 K K K 上的由 n n n 个方程构成的 n n n 元齐次线性方程组的系数矩阵行列式不为零时,其唯一解为

( ∣ B 1 ∣ ∣ A ∣ , ∣ B 2 ∣ ∣ A ∣ , ⋯   , ∣ B n ∣ A ∣ ) \left(\frac{|B_{1}|}{|A|},\frac{|B_{2}|}{|A|},\cdots,\frac{|B_{n}}{|A|}\right) (AB1,AB2,,ABn)

其中,

B j = ( a 11 ⋯ a 1 , j − 1 b 1 a 1 , j + 1 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ a 2 , j − 1 b 2 a 2 , j + 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n , j − 1 b n a n , j + 1 ⋯ a n n ) B_{j} =\left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & b_{1} & a_{1,j+1} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & \cdots & a_{2,j-1} & b_{2} & a_{2,j+1} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ a_{n1} &\cdots & a_{n,j-1} & b_{n} & a_{n,j+1} & \cdots &a_{nn} \end{matrix}\right) Bj= a11a21an1a1,j1a2,j1an,j1b1b2bna1,j+1a2,j+1an,j+1a1na2nann

证明:

\quad 此处暂不给出证明,到学习第4章时,会给出更简单的证明!当然教材的相应部分也提供了一种常用的证明方法,可作参考。

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注意定理 1定理 2 合称 克莱默法则


\quad 最后,我们做一个总结:目前,我们利用 n n n 阶行列式,已经解决了这样一个问题:

\quad 对于数域 K K K 上的由 n n n 个方程构成的 n n n 元线性方程组,能够直接从方程组的系数和常数项出现,判断其有没有解?若有解,有多少解?

\quad 事实上,行列式的应用不止于此,它在诸多领域中均有作用。比如,在分析、几何领域中也有它的身影。

\quad 下面,介绍行列式在几何中的两个应用示例,借以了解行列式的几何意义。

例题 1:二阶行列式 ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ \left|\begin{matrix}a_{1} &b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}\right| a1a2b1b2 可以表示由平面向量 a ⃗ = ( a 1 , a 2 ) T \vec{a}=(a_{1},a_{2})^{T} a =(a1,a2)T, b ⃗ = ( b 1 , b 2 ) T \vec{b} = (b_{1},b_{2})^{T} b =(b1,b2)T 张成的平行四边形的 定向面积

:什么是“定向面积”?

  • 在解析几何中,任一向量都可以看作是从原点 O O O 出发的一条有向线段。
  • 假设向量 a ⃗ \vec{a} a 与向量 b ⃗ \vec{b} b 不共线,考虑 a ⃗ → b ⃗ \vec{a}\rightarrow \vec{b} a b 的旋转(小于 9 0 o 90^{o} 90o),
    • 若旋转为逆时针,则面积为正;
    • 若旋转为顺时针,则面积为负。

例题 2:三阶行列式 ∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ \left|\begin{matrix}a_{1} &b_{1} &c_{1}\\ a_{2} &b_{2} &c_{2}\\a_{3} &b_{3} &c_{3}\end{matrix}\right| a1a2a3b1b2b3c1c2c3 可以表示由空间向量 a ⃗ = ( a 1 , a 2 , a 3 ) T \vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})^{T} a =(a1,a2,a3)T b ⃗ = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})^{T} b =(b1,b2,b3)T 以及 c ⃗ = ( c 1 , c 2 , c 3 ) T \vec{c} = (c_{1},c_{2},c_{3})^{T} c =(c1,c2,c3)T 所张成的平行六面体的 定向体积


参考

  • 邱维声. 高等代数课程.

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