（邱维声）高等代数课程笔记：克莱默法则

克莱默（Cramer）法则

\quad 本节主要介绍一个重要的定理——Cramer 法则。

$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =b_2\\ \cdots \cdots & \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n& =b_n\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

定理 1：设 $(1)$ 数域 $K$ 上的由 $n$ 个方程构成的 $n$ 元线性方程组，则：

• $(1)$ 无解或有无穷多解 当且仅当 其系数矩阵的行列式为零。
• $(1)$ 有唯一解 当且仅当 其系数矩阵的行列式不为零。

证明：

\quad 增广矩阵 $\tilde{A}\stackrel{\text{初等行变换}}{}$ 阶梯形矩阵 $\tilde{J}$.

\quad 系数矩阵 $A\stackrel{\text{上述初等行变换}}{}$ 阶梯形矩阵 $J$，$J$ 比 $\tilde{J}$ 少一列。

\quad 由 线性方程组解的情况及其判别准则 可知，$(1)$ 的解有且只有三种情况：无解，有无穷多解，有唯一解。并且：

• 若 $\tilde{J}$ 有非零行 $(0,0,\cdots ,0,d)$ 且 $d\ne 0$ 时，方程组无解；
• 否则，方程组有解。
  • 当方程组有解时，若满足 $\tilde{J}$ 的非零行数目 $r<n$，则方程组有无穷多解；
  • 当方程组有解时，若满足 $\tilde{J}$ 的非零行数目 $r=n$，方程组有唯一解。

而

$$\begin{array}{rl}\text{方程组}(1)\text{无解}& \iff \tilde{J}\text{有非零行}(0,0,\cdots ,0,d)\text{，其中}d\ne 0\\ & \iff J\text{有零行}\\ & \Rightarrow |J|=0\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\text{方程组}(1)\text{有无穷多解}& \iff \tilde{J}\text{的非零行数目}r<n\\ & \iff \tilde{J}有零行\\ & \Rightarrow J\text{有零行}\\ & \Rightarrow |J|=0\end{array}$$

方程组 ( 1 ) 有唯一解 ⇔ J ~ 的非零行数目 r = n ⇔ J ~ 有 n 个非零行 ⇔ J 有 n 个非零行 ⇔ J 有 n 个主元 ⇔ J 的形状只能是： ( c 11 c 12 ⋯ c 1 n 0 c 21 ⋯ c 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ c n n )  且 c 11 , c 22 , ⋯   , c n n ≠ 0. ⇔ ∣ J ∣ 为上三角行列式，且 ∣ J ∣ ≠ 0. \begin{aligned} \text{方程组}(1) \text{有唯一解} &\Leftrightarrow \tilde{J} \text{的非零行数目} r=n \\ &\Leftrightarrow \tilde{J} \text{有} n \text{个非零行}\\ &\Leftrightarrow J \text{有} n \text{个非零行}\\ &\Leftrightarrow J \text{有} n \text{个主元}\\ &\Leftrightarrow J \text{的形状只能是：} \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} &\cdots &c_{1n}\\0 &c_{21} &\cdots &c_{2n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ 0 &0 &\cdots &c_{nn}\end{matrix}\right) \\ &\quad ~ \text{且} c_{11},c_{22},\cdots ,c_{nn} \ne 0.\\ &\Leftrightarrow |J| \text{为上三角行列式，且} |J|\ne 0. \end{aligned} 方程组(1)有唯一解​⇔J~的非零行数目r=n⇔J~有n个非零行⇔J有n个非零行⇔J有n个主元⇔J的形状只能是： ​c11​0⋮0​c12​c21​⋮0​⋯⋯⋯​c1n​c2n​⋮cnn​​ ​ 且c11​,c22​,⋯,cnn​=0.⇔∣J∣为上三角行列式，且∣J∣=0.​

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注：个人觉得，在 定理 1 的证明中，前部分证明似乎是多余的！前者完全可以作为后者的推论得出！

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推论 1：数域 $K$ 上的由 $n$ 个方程构成的 $n$ 元齐次线性方程组只有零解 当且仅当 其系数矩阵的行列式不为零。

推论 2：数域 $K$ 上的由 $n$ 个方程构成的 $n$ 元齐次线性方程组有非零解 当且仅当 其系数矩阵的行列式等于零。

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定理 2：数域 $K$ 上的由 $n$ 个方程构成的 $n$ 元齐次线性方程组的系数矩阵行列式不为零时，其唯一解为

$$\left(\frac{|B_1|}{|A|},\frac{|B_2|}{|A|},\cdots ,\frac{|B_n}{|A|}\right)$$

其中，

B j = ( a 11 ⋯ a 1 , j − 1 b 1 a 1 , j + 1 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ a 2 , j − 1 b 2 a 2 , j + 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n , j − 1 b n a n , j + 1 ⋯ a n n ) B_{j} =\left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & b_{1} & a_{1,j+1} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & \cdots & a_{2,j-1} & b_{2} & a_{2,j+1} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ a_{n1} &\cdots & a_{n,j-1} & b_{n} & a_{n,j+1} & \cdots &a_{nn} \end{matrix}\right) Bj​= ​a11​a21​⋮an1​​⋯⋯⋮⋯​a1,j−1​a2,j−1​⋮an,j−1​​b1​b2​⋮bn​​a1,j+1​a2,j+1​⋮an,j+1​​⋯⋯⋮⋯​a1n​a2n​⋮ann​​ ​

证明：

\quad 此处暂不给出证明，到学习第4章时，会给出更简单的证明！当然教材的相应部分也提供了一种常用的证明方法，可作参考。

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注意：定理 1 与 定理 2 合称 克莱默法则。

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\quad 最后，我们做一个总结：目前，我们利用 $n$ 阶行列式，已经解决了这样一个问题：

\quad 对于数域 $K$ 上的由 $n$ 个方程构成的 $n$ 元线性方程组，能够直接从方程组的系数和常数项出现，判断其有没有解？若有解，有多少解？

\quad 事实上，行列式的应用不止于此，它在诸多领域中均有作用。比如，在分析、几何领域中也有它的身影。

\quad 下面，介绍行列式在几何中的两个应用示例，借以了解行列式的几何意义。

例题 1：二阶行列式 ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ \left|\begin{matrix}a_{1} &b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}\right| ​a1​a2​​b1​b2​​ ​ 可以表示由平面向量 $a=(a_1,a_2{)}^T$,$b=(b_1,b_2{)}^T$ 张成的平行四边形的 定向面积。

注：什么是“定向面积”？

• 在解析几何中，任一向量都可以看作是从原点 $O$ 出发的一条有向线段。
• 假设向量 $a$ 与向量 $b$ 不共线，考虑 $a\to b$ 的旋转（小于 $90^o$），
  • 若旋转为逆时针，则面积为正；
  • 若旋转为顺时针，则面积为负。

例题 2：三阶行列式 ∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ \left|\begin{matrix}a_{1} &b_{1} &c_{1}\\ a_{2} &b_{2} &c_{2}\\a_{3} &b_{3} &c_{3}\end{matrix}\right| ​a1​a2​a3​​b1​b2​b3​​c1​c2​c3​​ ​ 可以表示由空间向量 $a=(a_1,a_2,a_3{)}^T$，$b=(b_1,b_2,b_3{)}^T$ 以及 $c=(c_1,c_2,c_3{)}^T$ 所张成的平行六面体的 定向体积。

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参考：

• 邱维声. 高等代数课程.