【考研数学】四. 多元函数微积分

四. 多元函数微积分

二元函数的极限计算方法

1. 初步判断：取 y = kx，求一元函数极限。若答案为无穷或者含k，则极限不存在。若是确定的数字，则进行第二步。
2. 最终判断：取 y = kx^2 , 求一元函数极限，若答案无穷或者含k，则极限不存在。若是确定的数字，则进行下一步。
3. 求值：取 y = 0.

由此可以引申出，证明重极限不存在常用方法： 取两种不同的路径，使得极限不相等或不存在。

二元函数的连续性

• 极限值 == 函数值
• 非分段 每点连续
• 分段 非分段点必连续

可偏导的定义

• 对x的偏导，就是固定y，对x的增量作差
• 可偏导的，和可导的不一样。
• 分段函数在分段点处的偏导，只能用定义求

复合函数的偏导数和全微分

对因变量 使用 求导公式，后面要 乘 偏因变量 / 偏自变量
其他自变量当成数。

方程个数 = 因变量个数
自变量 + 因变量 = 总变量
分母自变量，分子含因变量。

隐函数（抽象函数）的偏导数和全微分

考研数学中的出题需结合多种方法求解

• 方法一：基本公式

• 方法二：非单一字母，换元换成单一字母。(方法一前提)

如：z = f（x+y, v ）= f(u,v)

m = f (2x ， y) = f( u , y)

• 方法三：f’1 和 f’2 仍然是括号内变量的函数

对于二元函数而言
- 某点处连续与偏导毫无关系
- 对x偏导且对y偏导都存在，才可以说它偏导数存在
- 极限值 = 函数值 ， 才连续

抽象函数求偏导对每一个因变量都求一次它的偏导 乘 对应自变量函数的导数

二元函数的极值和条件极值

求二元函数的极值⭐

1. 求f(x,y)对x的偏导，y的偏导
2. 令两个偏导 = 0 ， 求驻点
3. 求 对x的二阶偏导，对y的二阶偏导，对x，y的二阶偏导
4. 把每个驻点代入到第三步的结果，算出A，B，C。根据AC - B^2 与 0 关系，判断是否是极值点
5. 求出极值

求条件极值⭐

求 f(x,y) 在条件g(x,y)=0下的极值
∂
拉格朗日乘数法

1. 确保附加条件一侧为0：g(x,y) = 0
2. 构造拉格朗日函数（这里增加一个变量λ）
   $$F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \ast g(x,y)$$
3. 对每一个自变量变量求偏导，且令其值为0
   $$\{\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial g}{\partial x}\\ \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial g}{\partial y}\\ \frac{\partial F}{\partial \lambda }=\lambda g(x,y)\end{array}$$
4. 结合题中条件，解得极值点，代入得值。

记忆：在原本的f(x,y)上增加一个维度，条件函数作为变量。

解题技巧：对每个变量求偏导的前几个等式求关系，再代入最后一个等数

拓展：三维情况

求函数f（x,y,z）在条件g(x,y,z)=0 h(x,y,z)=0下的极值。

构造函数如下：这时候要加两个变量。
$$F(x,y,z,\lambda ,u)=f(x,y,z)+\lambda \ast g(x,y,z)+u\ast h(x,y,z)$$

补充：

1. 切平面的法向量

2. 多元函数的驻点

注意：多元函数的极值点一定是驻点、但驻点不一定是多元函数的极值点。

3. 可微函数的方向导数

方向导数相当于对每一个维度的变量求偏导，得到的结果组合成一个向量。内积一个方向为l的单位向量即可。
可能结合条件极值考。

4. 平面垂直

平面垂直: 相互垂直两平面的法向量点积为 0

两平面若相互垂直, 则此两平面的法向量点积为 0

5. 方向导数、梯度、旋度

这三个的缩写要记得，不然考试考出了都不知道求什么…

其中grad对应的是梯度， 对应一个向量表达。求解时分别对三方向下求偏导即可：

散度和旋度实际上对应的是向量的一个数值：

旋度：求解需要靠行列式计算