River Chandler
River Chandler

阿哈罗诺夫——玻姆效应（AB效应）

 规范变换

\nabla \times (\nabla \times A)=\nabla(\nabla\cdot A)-\nabla^2A

  • 规范场是与物理规律的定域规范变换不变性相联系的物质场

 \oint A\,dl=\iint\nabla \times A\,dS

\nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}=-\frac{\partial (\nabla \times A)}{\partial t}=-\nabla\times \frac{\partial A}{\partial t}\Rightarrow \nabla\times(E+\frac{\partial A}{\partial t})=0

纵场的旋度为零,横场的散度为零

E+\frac{\partial A}{\partial t}=-\nabla \phi

由于\nabla\times(\nabla g)=0

因此B=\nabla\times A=\nabla\times(A+\nabla g)

  • 为了消除此影响，我们需要对标势场做规范
    •  库伦规范(Coulomb gauge):使麦克斯韦方程组自然满足静电场的条件 

\nabla \cdot A=0

    • 洛伦兹规范 （Lorentz gauge）:满足洛伦兹变换不变性

\nabla \cdot A=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}

带电粒子在磁场中的总动量

电磁场的动量

\vec{G_{e,m}}=\int_V\varepsilon _0(\vec{E}\times \vec{B})d\tau'= \int_V\varepsilon _0(\vec{E}\times (\nabla\times A))d\tau'

稳定条件下，\nabla\times E=0,\nabla\cdot A=0

得到\vec{E}\times(\nabla\times A)=\nabla(\vec{A}\cdot \vec{E})-\nabla\cdot (\vec{A}\vec{E}+\vec{E}\vec{A})+\vec{A}(\nabla\cdot \vec{E})

\vec{G_{e,m}}=\varepsilon _{0}\left [ \int_V \vec{A}(\nabla \cdot\vec{E})d\tau' +\oint_S(\vec{A}\cdot\vec{E})dS' -\oint_S(\vec{A}\vec{E}+\vec{E}\vec{A})\cdot dS' \right ]=q\vec{A}

因此，带电的运动粒子在外磁场中的总动量

\vec{p}=m\vec{v}+q\vec{A}

AB效应

  • 量子力学中，电势与磁标势具有可观测的物理量的效应

AB实验装置

阿哈罗诺夫——玻姆效应（AB效应）_第1张图片

 螺线管不通电时，电子波函数的相位是

\phi = \int \vec{p}\cdot d\vec{r}

通过两狭缝的电子波函数相位差

\phi_1-\phi_2=kdsin\theta

屏上暗纹的位置是

y=f\,tan\theta\approx \frac{(2n+1)\pi}{k}\frac{f}{d}

与电子速度共轭的正则动量为

\vec{p}=m\vec{v}-e\vec{A}

阿哈罗诺夫——玻姆效应（AB效应）_第2张图片

接通螺线管后

\phi_1-\phi_2=kdsin\,\theta+\int_{c_1}-\frac{e\vec{A}}{\hbar}\cdot d \vec{r}-\int_{c_2}-\frac{e\vec{A}}{\hbar}\cdot d \vec{r}=kdsin\,\theta-\frac{e}{\hbar}\Phi

因此，屏上干涉条纹位置为

y'=ftan\,\theta\approx \left [ (2n+1)\pi+\frac{e}{\hbar}\Phi \right ]\frac{f}{kd}

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