Leetcode 第53题（最大子数组和）

最大子数组和

这道题使用动态规划法，动态规划最最核心的思想就是根据 前n-1个状态（步)，求第n个状态（步），拿本题来说，以每个元素为子数组结尾的话可以分成n个状态，比如nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，就有子数组以‘-2’结尾、‘1’结尾、‘-3’结尾、‘4’结尾、‘-1’结尾、‘2’结尾、‘1’结尾、‘-5’结尾、‘4’结尾 9个状态，我们把它们按顺序0-8排列，’-2’,‘1’…分别是状态0、1…的值，这里的思想就是根据状态 0 求状态 1，根据状态1求状态2，…，根据状态7求状态8（注意：求状态2只需要状态1，是因为状态1是根据状态0求得的，所以在求状态2的时候不需要状态0了，后面类似）。

具体一点，本题是要求最大子数组和，那我们就把每个状态下的最大子数组和求出来，再返回最大值。比如：
状态0：以‘-2’结尾的子数组有[-2]一个，我们要求最大子数组和，所以就是-2；
状态1：以‘1’结尾的子数组有[-2,1]、**[1]**两个，最大为1；
状态2：以‘-3’结尾的子数组有[-2,1,-3]、 [1,-3] 、[-3]三个，最大是-2；
…

上面说根据状态n-1求状态n，所以我们要找出相邻两个状态之间的关系，我们也叫状态转移函数，这也是题目最大的难点，或许能想到使用动态规划法，但是不一定能构建出状态转移函数。

这里的关系是 f(n) = max (f(n-1)+n, n)。

f(n)代表状态n下的最大子数组和，n代表状态n的值。

比如要求状态1下的最大子数组和，我们要比对（状态0的最大和 加上 现在状态1下的值‘1’ ）和 （现在状态的值） 谁更大，也就是说，上一个状态0与我们现在的状态1连接后能否让状态1变得更好，实际上，也就是如果上一个状态下求得的最大和是负值，我们就不连接上一个状态了。具体来看：

[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

状态1：-2 + 1 < 1，1
状态2：1 + (-3) > -3，-2
状态3：-2 + 4 < 4，4
状态4：4 + (-1) > -1，3
状态5：3 + 2 > 2，5
…
这里因为只有把每个状态下的最大子数组和求出来，所以在写程序时还要选出最大的那个子数组和，下面是代码：

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        p = 0
        sum = 0
        ans = nums[0]
        while p<n:
            sum = max(sum+nums[p],nums[p])  #状态转移函数
            if ans<sum:    #选出最大的最大子数组和
                ans = sum
            p += 1
        return ans

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

还有一种分治法，后面补上…