考研数二第十四讲 牛顿-莱布尼茨公式与用定义法求解定积分

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式在微分与积分以及不定积分与定积分之间架起了一座桥梁，因此，这个公式又被称为微积分基本公式。

微积分基本公式的简单推导

在看微积分基本公式之前，我们先来看一个有点特殊的函数，积分上限函数 $\psi （x）={\int }_x^{a}f(t)dt$
这个函数利用其自变量移动定积分的上限，因此，它的函数值就是函数 f(x)在区间[a,x] 上的定积分。

最终整理一下，我们可以得到这样一个公式： ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
这就是著名的牛顿-莱布尼茨公式，也就是微积分基本公式了。

微积分基本公式的使用

求 ${\int }_0^1{e}^{x}dx$
解：这道题在上一篇文章“用定义法求不定积分”中就出现了，文章中用定义法求定积分可以说是相当麻烦了。而现在我们有了微积分基本公式，会发现这道题变得非常简单。

微积分基本公式使用的条件

这一公式使用的条件很简单，只要求被积函数在积分区间上连续。

一旦积分区间不连续，或者是积分限出现了无穷大，那么这个定积分就变成了反常积分，关于反常积分，我也会单独写一篇文章。

用定义法求解定积分

用定义法来求定积分是一件比较麻烦的事，以后我们也不会用定义法求定积分。但是我们可以通过用定义法求定积分来提高我们对微积分的认识。

比如求积分：求 ${\int }_0^1{e}^{x}dx$
解：这个定积分的含义就是在 [0,1] 这个区间上， 曲线$y=e^x$ 与 x 轴围成的图形的面积。但这个面积并非常见的几何图形，因此我们并不好直接求解。

注意到，如果我们从积分区间中任取一段区间，这段区间上的函数图像与x轴围成的图像有点像是梯形，如果真的能把它看成梯形的话，那就好办多了。刚好，之前学微分的时候学过，在一个足够小的区间里，可以用一段直线来代替曲线。

而在足够小的距离内，一小段斜线与一小段水平线没有什么区别。因为连续的函数总能找到一个足够小的自变量变化量使得函数值的变化量足够小。于是，我们的任务就变成了求一连串矩形的面积之和。

下面我们用数学语言来描述这个过程。

首先，我们要把 [0,1] 这个区间等分成n份。



容易求得，这个式子的值为 e-1 .这也就是这个定积分的结果了。

这还仅仅是一个简单函数的积分，过程就如此复杂了，如果是复杂一点的函数，可以想象过程有多么复杂。

至此，我们可以总结出用定义法求定积分的基本步骤：

• 细分积分区间，为了简便，一般选择等分；

• 计算各区间对应的矩形面积；

• 求和；

• 取极限，即无限分割。