课堂拾遗（33）——解决问题的策略

      各种教研活动中，听课，磨课，评课是常规，在这些过程中，不管是执行者还是参与者，只要有所思考，自然能有所启发。

    “解决问题的策略”内容由于与别的单元牵连不大，常常是各种公开课、展示课的熟脸。之前的教学中，对其中的一些内容包括《从条件想起》、《替换》、《转化》、《鸡兔同笼》，我都曾以各种形式参与过。同事参加课堂教学竞赛，我参与其中，不管是之前的《一一列举》还是接下来的《转化》，作为策略的教学，它们自然有共通之处，但不可否认，它们又有着非常大的差异。

    按照现代认知心理学的分析，就主体内在的思维活动而言，解决问题的过程可被看成“问题空间”（这是指任务范围的内部心理表征，包括对目标、现有状态与目标状态之间的差别、可以执行哪些操作等的理解）的不断转换:解题者通过阅读问题和理解建构起了最初的“问题空间”；然后，随着“问题空间”与外部和长时记忆的信息的“接触”，它不断发生新的变化，即如变得更丰富和更景致；最后，问题的解决则取决于解题者能否成功地建构出关于所面临问题的一个合适的内在表征。

    鉴于此，对于转化这一策略，我们不妨先认真思考一下:教学中实现“转化”的手段主要有哪些？我们又应如何看待“转化”在数学问题解决中的重要作用？

      不管是“特殊化”还是“一般化”，这些事实上都可以被看成数学中通过转化解决问题的重要手段，同样上升到数学思维，即是“化归思想”的具体体现，在数学教学中都具有十分广泛的应用。如果要对“解题策略”作一个广义的理解，我们可以从波利亚的问题解决理论中得到启示:

      面对有待解决的问题时，我们可以引导学生考虑:你以前见过它吗？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题相关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都可改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？（《怎样解题》，科学出版社，1982，第2-3页）

    对于“转化”，这些都可以概括其中，我们应当清楚地认识到这点，并用“联系的观点”与“变化的观点”来理解教材，进而精心设计课堂教学。尽管“解题策略”的专门教学有一定意义，特别是有益于这方面已有认识的总结与反思，但我们应当更加重视如何将这方面的教学与具体知识内容的教学很好地结合起来，因为只有这样，才能使学生更深切地感受到各种解题策略的作用。同时，还要重视从思维高度对此作出进一步分析。