算法分析与设计--贪心法

算法设计与分析期末复习

主要参考：

​ 算法设计与分析（北京航空航天大学MOOC）

​ 算法设计与分析（北京大学MOOC）

​ 华中科技大学 计算机科学与技术学院 算法设计与分析 课堂教学PPT

二、贪心法

部分背包、霍夫曼编码、活动选择问题，Prim算法，Cruskal算法，单源最短路径Dijkstra算法等，以及一些近似算法

贪心算法一般求解前需要按照某种规则对输入排序

这种规则可以是：做乘法、除法等处理输入序列

贪心算法是这样一种方法，分步骤实施，它在每一步仅作出当时看起来最佳的选择，即局部最优的选择，希望这样的选择能导致全局最优解。

2.1 贪心法的特点

设计要素

（1）贪心法适用于组合优化问题

（2）求解工程是多部判断过程，最终的判断序列对应于问题的最优解

（3）依据某种“短视的”贪心选择性质判断，性质好坏决定算法的成败

（4）贪心法必须进行正确性证明

（5）证明贪心法不正确的技巧：举反例

贪心法的优势

算法简单，时间和空间复杂度低

2.2 贪心法的正确性证明

贪心法的正确性证明比较难

法1：使用数学归纳法进行证明

法2：反证+替换法（推荐）

​ （使得贪心算法不劣于最优解，从而证明贪心法的正确性）

2.3 实例伪代码

例1：活动选择问题

假定有一个n个活动的集合S={a1,a2,…,an}，这些活动都要求使用同一资源(如演讲会场)，而这个资源在某个时刻只能供一个活动使用。每个活动ai都有一个开始时间si和一个结束时间fi，且0≤si

若两个活动ai和aj满足[si, fi）与区间[sj, fj）不重叠，则称它们是兼容的。

活动选择问题就是从活动集合中选出最大兼容活动的集合

策略1：最短活动优先（错误）

策略2：最早开始活动优先（错误）

策略3：最早结束活动优先（可以得到正确解）

错误的贪心法可以通过举反例证明错误

解决思路：按照结束时间单调递增排序

GREEDY-ACTIVITY-SELECTOR(s,f)
n = s.length
A = {a1}
k = 1
for m = 2 to n
	if s[m] ≥ f[k]
		A = A ∪ {am}
		k = m
return A

例2：霍夫曼编码

主要掌握前缀和以及过程