第五单元 用python学习微积分(三十三)反常积分(下)-- 无穷级数和收敛判定

本文内容来自于学习麻省理工学院公开课:单变量微积分-无穷级数和收敛判定-网易公开课

Bullseye:第一单元 用python学习微积分(一) 安装开发环境Anaconda 和 导数(上)- 1/x的导数

Bullseye:第五单元 用python学习微积分(三十二)无穷的处理--不定式(下)和反常积分

芝诺悖论_百度百科

一、第二种类型的反常积分

1、定义

\int_0^1 f(x) dx = \lim_{a\rightarrow{0^+}} \int_{a}^1f(x)dx

如果极限存在就是收敛的否则就是不收敛的,

2、例1

\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2x^{\frac{1}{2}}|_0^1 = 2

积分是收敛的

import numpy as np 
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt 
figure, ax= plt.subplots( 1 ) 
ax.set_aspect( 1 ) 
def DrawXY1(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt, arrow =False):
    yarr = []
    xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) 
    for xval in xarr:
        #print(expr.subs(x,xval), xval)
        yval = expr.subs(x,xval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    x_nparr = np.array(xarr) 
    length = len (xarr)
    
    plt.plot(x_nparr, y_nparr, c=color, label=label)  
    if(arrow and steps > 2):
        plt.arrow(float(x_nparr[0]),float( y_nparr[0]),float( x_nparr[2]-x_nparr[0]),float( y_nparr[2]-y_nparr[0]), width=.02, color = color) 
        
def DrawXY(tFrom,tTo,steps,exprX,exprY, color,label,plt, arrow =False):
    xarr = []
    yarr = []
    tarr = np.linspace(tFrom ,tTo, steps) 
    for tval in tarr:
        xval = exprX.subs(t,tval)
        xarr.append(xval)
        yval = exprY.subs(t,tval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    x_nparr = np.array(xarr) 
    length = len (xarr)
    
    plt.plot(x_nparr, y_nparr, c=color, label=label)  
    if(arrow and steps > 2):
        plt.arrow(float(x_nparr[0]),float( y_nparr[0]),float( x_nparr[2]-x_nparr[0]),float( y_nparr[2]-y_nparr[0]), width=.02, color = color) 


x = symbols('x')

expr = 1/(x**0.5)

DrawXY1( 0.1,1,50,expr,color='c', label=' 1/(x**0.5)',plt = plt, arrow = False)


plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

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3、例2

(1)临界情况(border line)

\int_{0}^{1}\frac{dx}{x} \approx ln(x)|_{0^+}^{1}=ln(1) - ln(0^+)=0-(-\infty) = \infty

积分是发散的

(2)上节课给出的

\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^p} =\frac{x^{-p+1}}{-p+1}|_{1}^{\infty} =\frac{\infty^{-p+1}}{-p+1} - \frac{1}{-p+1}

当 0

\frac{\infty^{-p+1}}{-p+1} - \frac{1}{-p+1} \rightarrow_{0<p<1} \infty - \frac{1}{-p+1} = \infty

当 p>1时

\frac{\infty^{-p+1}}{-p+1} - \frac{1}{-p+1} \rightarrow_{p>1} 0 - \frac{1}{-p+1} = \frac{1}{p-1}

对比:

x\rightarrow 0^+, x^{\frac{1}{2}} \ll\frac{1}{x} \ll\frac{1}{x^2} (函数的积分是发散的:\frac{1}{x} , \frac{1}{x^2})

x\rightarrow \infty, x^{\frac{1}{2}} \gg\frac{1}{x} \gg\frac{1}{x^2}(函数的积分是发散的: \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}},\frac{1}{x} )

如下图, \frac{1}{x}在两个取值空间都是发散的:

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1/x

如下图, \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}在两个取值空间有不同的情况:

x = symbols('x')
expr = 1/(x**0.5)
DrawXY1( 0.1,1,50,expr,color='c', label=' 1/(x**0.5)',plt = plt, arrow = False)
DrawXY1( 1,4,50,expr,color='blue', label='',plt = plt, arrow = False)

expr = 1/x
DrawXY1( 0.1,5,50,expr,color='r', label=' 1/x)',plt = plt, arrow = False)
DrawXY1( 1.4,5,50,expr,color='orange', label='',plt = plt, arrow = False)

plt.legend(loc='lower right')
plt.show()plt.showx = symbols('x')
expr = 1/(x**0.5)
DrawXY1( 0.1,1,50,expr,color='c', label=' 1/(x**0.5)',plt = plt, arrow = False)
DrawXY1( 1,4,50,expr,color='blue', label='',plt = plt, arrow = False)

expr = 1/x
DrawXY1( 0.1,5,50,expr,color='r', label=' 1/x)',plt = plt, arrow = False)
DrawXY1( 1.4,5,50,expr,color='orange', label='',plt = plt, arrow = False)

plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

如下图,\frac{1}{x^{2}}在两个取值空间有不同的情况:

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二、无限级数

1、例1

1+\frac{1}{2} +\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... = 2

def DrawPowerInfiniteSeriesXY1(base,steps,color,label,plt, arrow =False):
    yarr = []
    xarr = []
    def PowerInfiniteSeries(oldValue,base, power):
        return base**power

    yval = 0
    for xval in range(steps):
        xarr.append(xval)
        yval += PowerInfiniteSeries(yval,base,xval)
        yarr.append(yval)

    y_nparr = np.array(yarr) 
    x_nparr = np.array(xarr) 
    length = len (xarr)
    
    plt.plot(x_nparr, y_nparr, c=color, label=label)  
    if(arrow and steps > 2):
        plt.arrow(float(x_nparr[0]),float( y_nparr[0]),float( x_nparr[2]-x_nparr[0]),float( y_nparr[2]-y_nparr[0]), width=.02, color = color)

        
DrawPowerInfiniteSeriesXY1(0.5,20,color='c',label='1+1/2+1/4+1/8+...',plt=plt, arrow =False)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

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关于这个级数,老师提到了芝诺悖论。当兔子追逐乌龟,它会先到达总距离的一半,而后它又会先到达当前距离的一半,而后又是一半的一半, 如此类推,它永远都无法追上乌龟。老师说这个悖论的结论是没有时间。确是如此,芝诺只考虑了距离是无限可分的,但是没有考虑通过这段距离的时间,也即是没有考虑速度。

2、几何级数的一般情况

1+a+a^2+a^3...

当 -11+a+a^2+a^3... = \frac{1}{1-a} (收敛的)

当 a = 1 时 1+a+a^2+a^3... = \frac{1}{1-1} = \frac{1}{0}(发散的)

DrawPowerInfiniteSeriesXY1(1,20,color='c',label='1+1+1+1+...',plt=plt, arrow =False)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

当 a -1 时1+a+a^2+a^3... = 1-1+1-1+1... = \frac{1}{1-(-1)} = \frac{1}{2}(通过公式算出结果是\frac{1}{2} ,但实际上结果是 0 或 -1 ,所以结果依旧是发散的)

DrawPowerInfiniteSeriesXY1(1,20,color='c',label='1-1+1-1...',plt=plt, arrow =False)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

 

 
  
 
  

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当a=2时, 1+a+a^2+a^3... = 1+2+4+8... = \frac{1}{1-2} = -1 (用公式 \frac{1}{1-a} 计算的结果是收敛的,实际上等式左侧的值是发散的。额外需要指出的是,老师在这说在数论中存在这样的系统让等式右边的结果成立)

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3、注意

级数的部分和:S_N = \sum_{n=0}^{N}a_n

级数的总和: S = \sum_{n=0}^{\infty} a_n = \lim_{N\rightarrow \infty}S_N

这里 S_N有两种情况:

(1)极限存在,即级数收敛(series converges)

(1)极限不存在,即级数发散(series diverges)

4、例2

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}

首先我们知道 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}对应积分\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2}

\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2} = -x^{-1} |_{1}^{\infty} = 1 (收敛)

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} (计算这个需要很有技巧,老师直接给答案了)

5、例3

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} 对应积分\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^3}

\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^3} = -\frac{1}{2}x^{-2} |_{1}^{\infty} = \frac{1}{2}(收敛)

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}困扰数学界很久,不久前被证明是无理数

6、例4

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}对应积分 \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x}

\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x} = ln(x)|_{1}^{\infty} = ln(\infty)- ln(1) = \infty( 发散的 )

def DrawRiemanSum(isUpper,xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt):
    length = (xTo - xFrom)/steps
    xarrRect = []
    yarrRect = []
    area = 0
    xprev = xFrom
    for step in range(steps):
        if(not isUpper):
            yval = expr.subs(x,xprev +length)
        else:
            yval = expr.subs(x,xprev )
        xarrRect.append(xprev)
        xarrRect.append(xprev)
        xarrRect.append(xprev + length)
        xarrRect.append(xprev + length)
        yarrRect.append(0)
        yarrRect.append(yval)
        yarrRect.append(yval)
        yarrRect.append(0)
        area += length * yval
        plt.plot(xarrRect, yarrRect, c=color, label=label)    
        xprev= xprev + length

x = symbols('x')
expr = 1/x
DrawRiemanSum(True,1,11,10,expr,color='g',label='',plt=plt)
DrawXY1( 1,11,50,expr,color='r',label= '',plt = plt, arrow = False)
plt.plot([0,11], [0,0], c='black', label='')    
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

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从上图中可以看到在(1,\infty)区间:

(1)黎曼上和( \Delta x= 1UpperRiemanSum=1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{N-1}

S_N = \sum_{n=0}^{N}a_n, Sn = UpperRiemanSum + S_N

(2)黎曼上和的面积显然要大于 \frac{1}x{}曲线下面的面积(即\frac{1}{x}的积分),则有

\int_{1}^{N}\frac{dx}{x}<UpperRiemanSum<S_N

\int_{1}^{N}\frac{dx}{x} = ln(x)|_{1}^{N} = ln(N)-0=ln(N)

ln(N)<S_N

ln(N)\rightarrow_{N\rightarrow\infty} \infty可知S_N\rightarrow_{N\rightarrow\infty} \infty(是发散的)

 

x = symbols('x')
expr = 1/x
DrawRiemanSum(False,1,11,10,expr,color='g',label='',plt=plt)
DrawXY1( 1,11,50,expr,color='r',label= '',plt = plt, arrow = False)
plt.plot([0,11], [0,0], c='black', label='')    
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()
 
  
 
  

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(3)当使用黎曼下和( \Delta x =1)时,LowerRiemanSum=\frac{1}{2} +...+\frac{1}{N-1}+\frac{1}{N} = S_{N}-1

从上图可知: \int_{1}^{N}\frac{dx}{x} = ln(N)>LowerRiemanSum =S_{N}-1

由上:S_N <ln(N)+1

综合上面得到的结果 :ln(N)<S_N

ln(N)<S_N<ln(N)+1

7、积分比较

如果f(x)据x增长递减,同时是正数,则有 | \sum_{N=1}^{\infty} f(N) - \int_{1}^{\infty} f(x)dx | <f(1), 同时有,和式和积分式同时收敛或发散。

8、极限比较(Limit Comparison)

如果 f(n)\sim g(n)   ( \frac{f(n)}{g(n)} \rightarrow_{n\rightarrow \infty} 1 ), g(n)>0 ,

\sum f(n)\sum g(n) 同时收敛或发散。

9、例5

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}

找到对应的 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{n^2}},它的积分式\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x} = \infty是发散的, 所以\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}是发散的

10、例6

\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^5+n^2}}

找到对应的 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{n^5}},它的积分式\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x^{\frac{5}{2}}}

由于积分中 \frac{1}{x} 的幂\frac{5}{2} >1 ,所以 \int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x^{\frac{5}{2}}}是收敛的

所以 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^5+n^2}}是收敛的

 

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