《离散数学导学》精炼:第1-3章(导论,数,命题逻辑)

勤学苦练莫懈怠,求知问道不辞难。
脚踏实地披荆斩棘,铸就辉煌不负韶华。
知识点滴如珠玉,汲取精华莫放弃。
勤奋学习方成才,未来辉煌走向前。

文章目录

  • 引言
  • 正文
    • 第一章 导论
    • 第二章 数
      • Peano算术(皮亚诺算术)
    • 第三章 命题逻辑
      • 原子命题
      • 真值
      • 逻辑运算符(重点)
      • 运算的优先级
      • 重言式,矛盾式,不定式
      • 真值表
      • 等值推理
      • 自然演绎
        • 自然演绎法的定理
      • 自然演绎法的例子
        • 题目
        • 解析

引言

我一直觉得在计算机这一学科的学习中,离散数学是极为重要的知识基础。离散化的思想体现在计算机学科的方方面面。举例来说,“像素”这一概念是我们日常生活中耳熟能详的,我们将一个图片拆分成一个个极微小的像素,就是利用了离散化的思想。为了帮助大家打好离散数学的思维基础,我新开一个专栏,对《离散数学导学》这本书做一个精炼,使其更易理解。这篇文章是这个专栏的第一部分,主要介绍1-3章。

正文

第一章 导论

导论这一章节中,指出了本书的知识结构。在这里用图给大家直观的展示一下:《离散数学导学》精炼:第1-3章(导论,数,命题逻辑)_第1张图片
(箭头指的是一章是另一章的前置知识,为想要只学习部分内容的同学加以参考。但要注意,就算不是必要的前置知识,后面章节的说明还是多多少少用到了前几章的知识的,请要速读的同学酌情考虑)

第二章 数

Peano算术(皮亚诺算术)

Peano算术用四条公理描述了自然数的基本性质:

  1. 0是自然数
  2. 若x是自然数,则x+1也是自然数
  3. 不存在满足x+1=0的自然数x
  4. 给定自然数x、y,若x+1=y+1,则x=y

Peano算术的前两条形式化定义了什么是“自然数”:自然数从0开始,向后递推。第三条界定了0是最开始的自然数。第四条则给出了“相等”这一性质的定义。
我们可以利用递推这一思想定义其他的运算符或数进行定义。例如,当我们定义“乘法”这一运算符的时候,我们就可以列出如下的式子:

0* n=0(从0开始)
(0+1)* n=(0* n)+n(向后递推1位)
(m+1)* n=(m* n)+n(继续向后递推)

看到这里,我想你已经想到某个不愿意透露姓名的dp算法了,那么这里顺便推荐一下我之前写的一个很经典的dp题解,大家可以以Peano思想的角度重新看一下这道dp经典例题——堆石头,相信你会有新的认识。

第三章 命题逻辑

原子命题

一个不能再拆成多个命题的命题就是原子命题,比如:“今天是星期二”

真值

通俗来讲,真值指的就是一个命题是真是假。一般来说,只有两种真值:true(真)和false(假)。
注意:

  1. 有时可能会看到第三种真值“未定义”,但未定义意味着它也只可能是true或者false,没有第三种可能性。
  2. true和false本身就可以是命题。

逻辑运算符(重点)

这是一个大重点,计算机编码中的逻辑门就是以逻辑运算符为基础。

逻辑运算符将多个原子命题“拼”起来,产生复合命题。常见的逻辑运算符就那几个,大家中学时都学过(也就是∧,∨,¬这些),这里提一下→(蕴含运算符)和↔(等值运算符):

  1. →(蕴含运算符):p→q意为“如果p是真的,则q是真的”。注意,我们可以将它看作是一个约定,当p为假的时候,我们视作违反约定,此时整个命题是真的。
  2. ↔(等值运算符):p↔q意为“p→q∧q→p”。

运算的优先级

就一句话,如果你不确定运算顺序的话,加括号就好了。

重言式,矛盾式,不定式

  1. 重言式:永远为true的命题
  2. 矛盾式:永远为false的命题
  3. 不定式:除了重言式和矛盾式以外的所有命题

真值表

直接上例子,这是(p∧q)∨(p→q)的真值表:
《离散数学导学》精炼:第1-3章(导论,数,命题逻辑)_第2张图片
我们为原子命题赋真值,然后由原子命题的真值算出上一级复合命题的真值,然后再上一级…直到最大的复合命题的真值。将这个过程列成表格,就是真值表。

等值推理

等值推理,和我们平时化简式子很像,看个例子:
《离散数学导学》精炼:第1-3章(导论,数,命题逻辑)_第3张图片
注意:我们这里在每一步前要写成⇔符号而不是=符号。
下面是一些我们常用的定理,我只列出了我认为需要特殊记住的定理:

  1. 分配律:p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r),p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
  2. 吸收律:p ∧ (p ∨ q) ⇔ p,p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
  3. 德摩根定律:¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q,¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
  4. 蕴含式的等效形式:p → q ⇔ ¬p ∨ q,¬(p → q) ⇔ p ∧ ¬q

剩下的定理一看就能看明白,接触的多了自然就记住了。

自然演绎

自然演绎法/证明树是另一种证明定理正确性的方法,其一般形式如下:
在这里插入图片描述
树的上层是前提,下层是由上层的一部分前提推导出来的结论。注意,在这里我们默认前提都是真的。

我们先说明自然演绎法用到的定理,然后举一个例子来说明这个过程。

自然演绎法的定理

  1. 蕴含消去规则
    在这里插入图片描述

  2. 蕴含引入规则
    《离散数学导学》精炼:第1-3章(导论,数,命题逻辑)_第4张图片
    说明一下这个规则,这个规则的意思是:如果p是真的,p通过若干步推导得出q是真的,那么p→q。
    这里p被套上中括号后,我们假定p是真的。证明树的最顶端一定是这些被套上中括号的命题。

  3. 真引入规则
    在这里插入图片描述

  4. 合取消去规则
    在这里插入图片描述
    这里结论是p是真的或者q是真的都可以

  5. 合取引入规则
    在这里插入图片描述

  6. 析取引入规则
    在这里插入图片描述
    和合取引入一样,这里p为前提或q为前提都可以

  7. 析取消去规则
    《离散数学导学》精炼:第1-3章(导论,数,命题逻辑)_第5张图片
    这个规则说明一下,这个规则的意思是:如果假设p是真的,则p能推出r;假设q是真的,则q也能推出r;p和q中至少有一个是真的,则r是真的。

  8. 等值消去规则
    《离散数学导学》精炼:第1-3章(导论,数,命题逻辑)_第6张图片
    9.等值引入规则
    在这里插入图片描述

自然演绎法的例子

题目

证明((p∧q)∧r)→(p∧(q∧r))是命题逻辑的定理

解析

《离散数学导学》精炼:第1-3章(导论,数,命题逻辑)_第7张图片
我们一般从最下面的结论开始构建证明树,一步一步得到最上面的前提,也就是这个命题的前半部分。

  1. 第一步,用蕴含引入规则抽出q,也就是蕴含命题的后半部分。
  2. 第二步,用合取引入规则分开这两个部分
  3. 第三步,左边的部分用合取消去规则加上q,再用合取消去规则加上r,构造我们需要的前提
  4. 第四步,右边的部分先用合取引入规则分开,然后用合取消去规则分别加上p、r和q、r,构建出我们需要的前提,整棵树构造完成。

观察整个过程,我们可以知道,当命题最外层是蕴含符号时一定要先把后半部分抽出来,然后用各种规则去尝试构造出前半部分的前提。


1-3章的内容就是这些啦,我是霜_哀,在算法之路上努力前行的一位萌新,感谢你的阅读!如果觉得好的话,可以关注一下,我会在将来带来更多更全面的算法讲解!

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