算法笔记-Kruskal重构树
Kruskal重构树
在Kruskal算法求最小生成树时，按照边权排序，然后依次合并节点。
在构建Kruskal重构树时，按照边权排序，在合并节点 x , y x,y x,y时，断开 x , y x,y x,y之间的边，并新建节点 z z z， z z z的点权为边 ( x , y ) (x,y) (x,y)的权值， z z z向 x , y x,y x,y分别连边，并用并查集维护连通性。
性质
- 是二叉树
- 如果按最小生成树顺序的话是大根堆
- 原图上任意两点路径上边权的最大值是重构树上 l c a lca lca的点权
代码
void Kruskal(){
sort(edg+1, edg+1+m, cmp);
memset(e, 0, sizeof(e));
memset(head, 0, sizeof(head));
tot = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
f[i] = i;
nodetot = n;
for(int i = 1; i <= m; i++){
int fx = find(edg[i].x);
int fy = find(edg[i].y);
if(fx == fy)
continue;
val[++nodetot] = edg[i].v;
f[nodetot] = f[fx] = f[fy] = nodetot;
add(nodetot, fx); add(nodetot, fy);
}
}
P4768 [NOI2018] 归程
题意：
给定一个连通图，边有两个权值，长度 l l l，高度 h h h。每次询问给定起点 s 0 s_0 s0，水位线 h 0 h_0 h0，高度小于等于 h 0 h_0 h0的边只能走路，不能开车。终点为 1 1 1号结点，询问从 s 0 s_0 s0到终点走路的最小长度。
解析：
将所有边按照高度排序，构建 k r u s k a l kruskal kruskal重构树，得到的是小根堆。对于一棵子树 u u u，如果水位线 h 0 h_0 h0小于子树根节点的权值，该子树中的叶子结点是可以互相到达的，即原图中对应的点可以开车直达。
对于当前询问 ( s 0 , h 0 ) (s_0,h_0) (s0,h0)，找到根节点 u u u，满足 w [ u ] > h 0 w[u] > h_0 w[u]>h0 且 w [ f a [ u ] ] ≤ h 0 w[fa[u]] \le h_0 w[fa[u]]≤h0，则 s 0 s_0 s0可以开车到达的结点为子树 u u u的叶子结点。
可以利用 D i j s k r a Dijskra Dijskra求出所有点到 1 1 1号结点的最短路。按照高度排序，构建 k r u s k a l kruskal kruskal重构树，然后 d f s dfs dfs求出子树 u u u中到 1 1 1号结点路径的最小值 d [ u ] d[u] d[u]。
对于每次询问 ( s 0 , h 0 ) (s_0,h_0) (s0,h0)，利用倍增找到结点 u u u，答案为 d [ u ] d[u] d[u]
代码：
#includeP4197 Peaks
题意：
给定无向图，点有点权 h i h_i hi，边有边权 x i x_i xi。每次询问 ( v , x , k ) (v,x,k) (v,x,k)，从 v v v出发，只经过边权小于 x x x的边，能够到达的点中点权第 k k k大的点权。
解析：
只经过边权小于 x x x的边可以想到 K r u s k a l Kruskal Kruskal重构树，对于询问点权第 k k k大的点权可以想到主席树。
K r u s k a l Kruskal Kruskal重构树上非叶子结点"管辖"的叶子结点是一段连续的区间，在 d f s dfs dfs的时候，维护每个结点"管辖"的叶子结点区间。
对于询问 ( v , x , k ) (v,x,k) (v,x,k)，与上题类似，利用倍增找到结点 u u u，在 u u u管辖的区间中，查询区间第 k k k大。注意离散化
代码：
#include