机器学习：多项式拟合分析中国温度变化与温室气体排放量的时序数据
文章目录
-
- 1、前言
- 2、定义及公式
- 3、案例代码
-
- 1、数据解析
- 2、绘制散点图
- 3、多项式回归、拟合
- 4、注意事项
1、前言
当分析数据时，如果我们找的不是直线或者超平面，而是一条曲线，那么就可以用多项式回归来分析和预测。
2、定义及公式
多项式回归可以写成：
Y i = β 0 + β 1 X i + β 2 X i 2 + . . . + β k X i k Y_{i} = \beta_{0} +\beta_{1}X_{i}+\beta_{2}X_{i}^2+...+\beta_{k}X_{i}^k Yi=β0+β1Xi+β2Xi2+...+βkXik
例如二次曲线：
Y = a X + b X 2 + c Y=aX+bX^2+c Y=aX+bX2+c
3、案例代码
1、数据解析
首先有1961年至2017年我国地表温度变化和温室气体排放量的时间序列数据，前十条数据如下。
| temp | emissions |
|---|---|
| 0.257 | 5635838102 |
| -0.142 | 6075180207 |
| 0.288 | 6510697811 |
| -0.028 | 6946401541 |
| 0.076 | 7421082166 |
| 0.18 | 7942541079 |
| -0.286 | 8374764636 |
| -0.414 | 8842570279 |
| -0.22 | 9418514950 |
2、绘制散点图
对于该数据我们先通过绘制散点图，这可以看出该数据适用于什么模型。
import matplotlib.pyplot as plt
import xlrd
import numpy as np
# 载入数据，打开excel文件
ExcelFile = xlrd.open_workbook("sandian.xls")
sheet1 = ExcelFile.sheet_by_index(0)
x = sheet1.col_values(0)
y = sheet1.col_values(1)
# 将列表转换为matrix
x = np.matrix(x).reshape(48, 1)
y = np.matrix(y).reshape(48, 1)
# 划线y
plt.title("Epidemic and Dow Jones data analysis")
plt.xlabel("new cases")
plt.ylabel("Dow Jones Volume")
plt.plot(x, y, 'b.')
plt.show()
上述使用xlrd方式不建议使用，简单了解即可，正常我们会使用下述更为方便且稳定的pandas来读取csv文件，这会大大简洁我们的代码并减少工作量。当然结果也是一样的。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
x = pd.read_csv('china.csv')['emissions']
y = pd.read_csv('china.csv')['temp']
# 划线y
plt.title("temp and emission")
plt.xlabel("emissions change")
plt.ylabel("temp change")
plt.plot(x, y, 'b.')
plt.show()
如图所示很明显，在排放量变化达到1.5(1e11)时，斜率发生了改变，因此我们可以判断这是一个多项式模型。
3、多项式回归、拟合
通过散点图的趋势，我们首先选择拟合3次来防止过拟合和欠拟合。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.metrics import r2_score
from matplotlib.font_manager import FontProperties # 导入FontProperties
font = FontProperties(fname="simhei.ttf", size=14) # 设置字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] =False
x = pd.read_csv('china.csv')['emissions']
y = pd.read_csv('china.csv')['temp']
# 进行多项式拟合（这里选取3次多项式拟合）
z = np.polyfit(x, y, 3) # 用3次多项式拟合
# 获取拟合后的多项式
p = np.poly1d(z)
print(p) # 在屏幕上打印拟合多项式
# 计算拟合后的y值
yvals=p(x)
# 计算拟合后的R方，进行检测拟合效果
r2 = r2_score(y, yvals)
print('多项式拟合R方为:', r2)
# 计算拟合多项式的极值点。
peak = np.polyder(p, 1)
print(peak.r)
# 画图对比分析
plot1 = plt.plot(x, y, '*', label='初始值', color='red')
plot2 = plt.plot(x, yvals, '-', label='训练值', color='blue',linewidth=2)
plt.xlabel('温室气体排放量',fontsize=13, fontproperties=font)
plt.ylabel('温度变化',fontsize=13, fontproperties=font)
plt.legend(loc="best")
plt.title('中国温室气体排放量与地表温度变化的关系')
plt.show()
最后结果如下图
3 2
3.002e-34 x - 1.351e-22 x + 2.284e-11 x - 0.2613
多项式拟合R方为: 0.7468687074304835
[1.50000065e+11+5.34488173e+10j 1.50000065e+11-5.34488173e+10j]
我们发现，这并不符合我们的预期，因为温室气体排放量在1.5(1e11)时，散点图趋势有明显的凹陷，而使用三次拟合并不能让曲线拟合到散点上。所以我们将 z = np.polyfit(x, y, 4)中的3改为4，来进行四次拟合。
这样就达到了我们的预期效果，并输出我们的多项式回归公式。
4 3 2
1.702e-44 x - 6.273e-33 x + 6.634e-22 x - 9.696e-12 x + 0.03595
多项式拟合R方为: 0.7962406171380259
[1.60734484e+11 1.07514523e+11 8.24309615e+09]
我们可以得到数学模型：
Y = 1.702 ∗ 1 0 − 44 X − 6.273 ∗ 1 0 − 33 X + 6.634 ∗ 1 0 − 22 X − 9.696 ∗ 1 0 − 12 X + 0.03595 Y=1.702*10^{-44}X -6.273*10^{-33}X + 6.634*10^{-22}X-9.696*10^{-12}X +0.03595 Y=1.702∗10−44X−6.273∗10−33X+6.634∗10−22X−9.696∗10−12X+0.03595
4、注意事项
from matplotlib.font_manager import FontProperties # 导入FontProperties
font = FontProperties(fname="simhei.ttf", size=14) # 设置字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] =False
这些代码用于显示汉字标题，这需要你的本机中有一个汉字字体文件，simhei.ttf或其他字体文件。
如果需要引入，在第二行中指定文件路径。