40. CF-Not So Simple Polygon Embedding

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题解里的几何做法很巧妙，这里记录一下。

因为有 $2n$ 条边，每条边对应的角度就是 $\frac{2\pi }{2n}$。

考虑对角线与底边平行的状态。顺时针或逆时针转动 $\frac{\pi }{2n}$ 的角度后，对角线会与底边垂直，这就还原成了最开始的状态。

然后因为顺时针和逆时针转是一样的，所以最优解应该在中间取到。

此时旋转的角度为 $\frac{\pi }{4n}$。取多边形中心 $O$，向底边作垂线，可以得到

$$\frac{1}{2}d=r\cos (\frac{\pi }{4n})$$

其中 $d$ 就是所求的正方形边长，然后 $r$ 是多边形顶点到中心的距离。

显然

$$\sin (\frac{\pi }{2n})=\frac{1}{2r}$$

所以答案就是 $\frac{\cos (\frac{\pi }{4n})}{\sin (\frac{\pi }{2n})}$，即 $\frac{1}{2}\sin (\frac{\pi }{4n})$。

#include 
using namespace std;

const double pi = acos(-1);

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << 0.5 / sin(pi / (4 * n)) << "\n";
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int T = 1;
    cin >> T;
    cout << fixed << setprecision(10);
    while (T--) {
        solve();
    }
}