poj 3735 Training little cats

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【题意】：有n只猫咪，开始时每只猫咪有花生0颗，现有一组操作，由下面三个中的k个操作组成：
1. g i 给i只猫咪一颗花生米
2. e i 让第i只猫咪吃掉它拥有的所有花生米
3. s i j 将猫咪i与猫咪j的拥有的花生米交换

现将上述一组操作做m次后，问每只猫咪有多少颗花生？

【题解】：m达到10^9，显然不能直接算。
因为k个操作给出之后就是固定的，所以想到用矩阵，矩阵快速幂可以把时间复杂度降到O（logm）。问题转化为如何构造转置矩阵？
说下我的思路，观察以上三种操作，发现第二，三种操作比较容易处理，重点落在第一种操作上。
有一个很好的办法就是添加一个辅助，使初始矩阵变为一个n+1元组，编号为0到n，下面以3个猫为例：
定义初始矩阵A = [1 0 0 0]，0号元素固定为1，1~n分别为对应的猫所拥有的花生数。
对于第一种操作g i，我们在单位矩阵基础上使Mat[0][i]变为1，例如g 1：
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1，显然[1 0 0 0]*Mat = [1 1 0 0]
对于第二种操作e i，我们在单位矩阵基础使Mat[i][i] = 0,例如e 2：
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1, 显然[1 2 3 4]*Mat = [1 2 0 4]
对于第三种操作s i j，我们在单位矩阵基础上使第i列与第j互换，例如s 1 2：
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0，显然[1 2 0 4]*Mat = [1 4 0 2]
现在，对于每一个操作我们都可以得到一个转置矩阵，把k个操作的矩阵相乘我们可以得到一个新的转置矩阵T。
A * T 表示我们经过一组操作，类似我们可以得到经过m组操作的矩阵为 A * T ^ m,最终矩阵的[0][1~n]即为答案。

上述的做法比较直观，但是实现过于麻烦，因为要构造k个不同矩阵。

有没有别的方法可以直接构造转置矩阵T？答案是肯定的。
我们还是以单位矩阵为基础：
对于第一种操作g i，我们使Mat[0][i] = Mat[0][i] + 1；
对于第二种操作e i，我们使矩阵的第i列清零；
对于第三种操作s i j，我们使第i列与第j列互换。
这样实现的话，我们始终在处理一个矩阵，免去构造k个矩阵的麻烦。

至此，构造转置矩阵T就完成了，接下来只需用矩阵快速幂求出 A * T ^ m即可，还有一个注意的地方，该题需要用到long long。

View Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#define LL long long

using namespace std;

int n , m , k;

class Matrix

{

public:

      LL val[124][124];

      void Zero(){  memset( val , 0 , sizeof( val ) ); }

      void Init( ){

          Zero();

          for( int i = 0 ; i < 124 ; i ++ )

               val[i][i] = 1;        

      }    

      Matrix operator *( const Matrix &b );

}A;

Matrix Matrix::operator *( const Matrix &b ){

      Matrix temp;

      temp.Zero();

      for( int i = 0 ; i <=  n ;  i ++ )

         for( int k = 0 ; k <= n ; k ++ )           

                if( val[i][k] )

                for( int j = 0 ; j <=  n;  j ++ )

                      temp.val[i][j] += val[i][k]*b.val[k][j];                

      return temp;

}

void Solve( ){

    Matrix temp;

    temp.Init();

    while( m ){

        if( m&1 ) temp = temp*A;

        A  = A*A;

        m >>= 1;    

    }

    for( int i = 1; i < n ; i ++ )

         printf( "%I64d ",temp.val[0][i] );

    printf( "%I64d\n",temp.val[0][n] );

         

}

int main( )

{

   char str[3];

   int a,b;

   while( scanf( "%d %d %d",&n,&m,&k ),n||m||k ){

        A.Init();

        for( int i = 0 ; i < k ; i ++ ){

             scanf( "%s",str );

             switch( str[0] ){

                  case 'g':scanf( "%d",&a );A.val[0][a] ++;

                           break;

                  case 's':scanf( "%d %d",&a,&b );

                            for( int i = 0 ; i <= n ; i ++ )

                                swap( A.val[i][a],A.val[i][b] );

                            break;

                  case 'e':scanf( "%d",&a );

                           for( int i = 0 ; i <= n ; i ++ )

                                A.val[i][a] = 0;        

             }    

        }

        Solve();          

   }    

   return 0;    

}