xor（vector+字典树）

题目大意

给出一个长度为$n$的序列$A$，再给出一个整数$x$，如果一个子序列满足以下的条件，则它是一个符合条件的子序列：

• 序列中的任意两个数的异或结果都大于等于$x$

求符合条件的子序列的个数，模$998244353$。

两个子序列不同，当且仅当它们取自于原序列中的位置中有至少一个位置不同。

数据范围

$1\le n\le 3\times 10^5,1\le A_i\le 2^{60},1\le x\le 2^{60}$

题解

令$x$的最高位为第$d$位。如果有两个数，它们在第$d$位以上的部分不同，那么显然它们异或之后一定有一位比第$d$位高且为$1$。也就是说，如果有两个数，它们在第$d$位以上的部分不同，那么它们不会有冲突。

我们把序列$A$中具有相同的第$d$位以上的部分的数放在一起，那么整个序列就被分成若干个同前缀序列。我在其中一个同前缀序列中选符合条件的数，并不影响我在另一个同前缀序列中选的数。所以我们可以先把每个同前缀序列中符合条件的子序列个数求出，然后求积，即可得出答案。

那么怎么求一个同前缀序列中符合条件的子序列个数呢？

因为分在一个同前缀序列中的数的第$d$位以上的部分相同，所以任意两个数的异或和的最高位一定不高于第$d$位。假如当前的子序列有两个数，那么这两个数的第$d$位一定满足一个是$0$。一个是$1$，否则异或和的第$d$位为$0$，也就小于$x$。如果我们要再加一个数，那么无论这个数的第$d$位是$0$还是$1$，它与先前的数异或之后一定会有一种情况使得第$d$位为$0$。所以，可以证明，在一个同前缀序列中符合条件的子序列的数的个数最多只有两个。

数的个数为$0$或$1$的子序列的个数很好求，分别为$1$和该同前缀序列的大小。若子序列的数的个数为$2$，那么对于每一个数，我们需要找到另一个数，使得这两个数的异或和大于等于$x$。

我们可以用字典树来维护。假设当前枚举的数为$v$，那么在字典树中：

• 如果$x$在当前这一位为$1$，则这两个数必须不同，我们就往$v$的这一位的另一个数的一边查找
• 如果$x$在当前这一位为$0$，则这两个数可以不同，我们就把$v$的这一位的另一个数的一边的数的和加到当前的答案上，在往$v$的这一位的数的一边查找

求出每一个同前缀序列的答案求出后，将每个同前缀序列的答案求积，即为最终的答案。

不要忘了最后减去序列为空的情况。

时间复杂度为$O(60\times n)$。

code

#include
using namespace std;
int n,v1=0,tot,siz[15000005],ch[15000005][2];
long long x,tx,s=1,ans=1,now,mi[65],a[300005],v[300005];
long long mod=998244353;
vector<long long>w[300005];
void pt(long long v){
	int q=1,vq;
	for(int i=60;i>=0;i--){
		vq=(v>>i)&1;
		if(!ch[q][vq]) ch[q][vq]=++tot;
		q=ch[q][vq];
		++siz[q];
	}
}
void find(long long v){
	int q=1,vq;
	for(int i=60;i>=0;i--){
		vq=(v>>i)&1;
		if((x>>i)&1){
			if(!ch[q][vq^1]) return;
			q=ch[q][vq^1];
		}
		else{
			if(ch[q][vq^1]) now=(now+siz[ch[q][vq^1]])%mod;
			if(!ch[q][vq]) return;
			q=ch[q][vq];
		}
	}
	now=(now+siz[q])%mod;
}
void cl(int x){
	if(ch[x][0]) cl(ch[x][0]);
	if(ch[x][1]) cl(ch[x][1]);
	ch[x][0]=ch[x][1]=0;
	siz[x]=0;
}
int main()
{
	scanf("%d%lld",&n,&x);
	mi[0]=1;
	for(int i=1;i<=60;i++) mi[i]=mi[i-1]*2;
	tx=x;
	while(x){
		x>>=1;s<<=1;
	}
	s=mi[60]-s;
	x=tx;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(v1==0||(a[i]&s)!=v[v1]){
			v[++v1]=(a[i]&s);
		}
		w[v1].push_back((a[i]|s)^s);
	}
	for(int i=1;i<=v1;i++){
		int l=w[i].size();
		now=l+1;
		tot=1;
		for(int j=0;j<l;j++){
			find(w[i][j]);
			pt(w[i][j]);
		}
		ans=ans*now%mod;
		cl(1);
	}
	ans=(ans+mod-1)%mod;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}