Night关于数学的杂谈-插值法

插值法是什么

插值，就是给定一定的离散数据点，范围内估计新数据点的过程或方法。在这个过程中，我们当然希望得到一个连续的光滑曲线同时经过所有的 (xi,yi) ( x i , y i ) ，并求得该曲线在需要求值的点上的值。
具体定义如下：
给定 n n 个离散数据点 (xi,yi) (i∈[1,n]) ( x i , y i )   ( i ∈ [ 1 , n ] ) ，对于 x (x≠xi,i∈[1,n]) x   ( x ≠ x i , i ∈ [ 1 , n ] ) ，求 x x 所对应的 y y 值称之为 内插。
f(x) f ( x ) 为定义在区间 [a,b] [ a , b ] 上的函数。 x1,x2,⋯,xn x 1 , x 2 , ⋯ , x n 为 [a,b] [ a , b ] 上 n n 个互不相同的点，G G 为给定的某一函数类。若 G G 上有函数 g(x) g ( x ) 满足：

g(xi)=f(xi) , i∈[1,n] g ( x i ) = f ( x i )   ,   i ∈ [ 1 , n ]

则称 g(x) g ( x ) 为 f(x) f ( x ) 关于节点 x1,x2,⋯,xn x 1 , x 2 , ⋯ , x n 在 G G 上的插值函数。
（摘自维基百科）

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牛顿插值法

差商

给定函数 f(x) f ( x ) 和插值节点 x0,x1,⋯,xn x 0 , x 1 , ⋯ , x n ，用 f[x0,x1,⋯,xk] f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x k ] 表示 f(x) f ( x ) 关于节点 x0,x1,⋯,xk x 0 , x 1 , ⋯ , x k 的 k k 阶差商(k-th Difference Quotient) (k=1,2,⋯,n) ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) ，它们可递归定义为

f[x0,x1,⋯,xk]=f[x1,x2,⋯,xk]−f[x0,x1,⋯,xk−1]xk−x0 f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x k ] = f [ x 1 , x 2 , ⋯ , x k ] − f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x k − 1 ] x k − x 0

其中 f(x) f ( x ) 关于 xi x i 的 0 0 阶差商为 f(xi) f ( x i ) 。
根据差商的定义，差商具有如下性质：
1、

f[x0,x1,⋯,xk]=∑i=0kf(xi)∏kj=0,j≠i(xi−xj) f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x k ] = ∑ i = 0 k f ( x i ) ∏ j = 0 , j ≠ i k ( x i − x j )

证明的话可以用数学归纳法直接爆肝就行了，此处省略（其实这个性质下面并不会用到，主要是引入对称这个性质）。

2、由上面那个公式可以显然看出， xi x i 顺序的改变并不会影响差商的值，因此我们称差商具有对称性。

牛顿插值公式

于是我们利用差商的性质，可以推出牛顿插值公式。方法如下：
首先由差商的定义，以及其对称的性质，可以得到：

f[x,x0]=f(x)−f(x0)x−x0  →  f(x)=f(x0)+f[x,x0](x−x0)    (a) f [ x , x 0 ] = f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0     →     f ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x , x 0 ] ( x − x 0 )         ( a )

f[x,x0,x1]=f[x,x0]−f[x0,x1]x−x1 f [ x , x 0 , x 1 ] = f [ x , x 0 ] − f [ x 0 , x 1 ] x − x 1

→  f[x,x0]=f[x0,x1]+f[x,x0,x1](x−x1)    (b) →     f [ x , x 0 ] = f [ x 0 , x 1 ] + f [ x , x 0 , x 1 ] ( x − x 1 )         ( b )

⋯ ⋯

f[x,x0,⋯,xn]=f[x,x0,⋯,xn−1]−f[x0,x1,⋯,xn]x−xn  →  f[x,x0,⋯,xn−1]=f[x0,x1,⋯,xn]+f[x,x0,⋯,xn](x−xn)    (c) f [ x , x 0 , ⋯ , x n ] = f [ x , x 0 , ⋯ , x n − 1 ] − f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x n ] x − x n     →     f [ x , x 0 , ⋯ , x n − 1 ] = f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x n ] + f [ x , x 0 , ⋯ , x n ] ( x − x n )         ( c )

我们发现，对于式子 (b) ( b ) ，我们将其乘上 (x−x0) ( x − x 0 ) ，那么就会有

(a)+(b)×(x−x0) ：   f(x)+f[x,x0](x−x0)=f(x0)+f[x,x0](x−x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x,x0,x1](x−x0)(x−x1) ( a ) + ( b ) × ( x − x 0 )   ：       f ( x ) + f [ x , x 0 ] ( x − x 0 ) = f ( x 0 ) + f [ x , x 0 ] ( x − x 0 ) + f [ x 0 , x 1 ] ( x − x 0 ) + f [ x , x 0 , x 1 ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 )

递推地看，我们发现一个规律，每个式子 (c) ( c ) 如果乘上一个 (x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1) ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 ) 以后可以上下相加来抵消一些项。
因此对于每一个 (c) ( c ) 式，我们将其乘上 (x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1) ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 ) 后求和，可以得到这样的式子

f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)+f[x,x0,⋯,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)(x−xn) f ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x 1 ] ( x − x 0 ) + f [ x 0 , x 1 , x 2 ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) + ⋯ + f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x n ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 ) + f [ x , x 0 , ⋯ , x n ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 ) ( x − x n )

这就是 牛顿插值公式。
形式化地，有 f(x)=Pn(x)+Rn(x) f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) ，并记

Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1) P n ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x 1 ] ( x − x 0 ) + f [ x 0 , x 1 , x 2 ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) + ⋯ + f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x n ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 )

Rn(x)=f[x,x0,⋯,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)(x−xn) R n ( x ) = f [ x , x 0 , ⋯ , x n ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 ) ( x − x n )

并称 Pn(x) P n ( x ) 为 牛顿插值多项式， Rn(x) R n ( x ) 为 牛顿插值余项。

复杂度

显然我们预处理差商的时候需要 O(n2) O ( n 2 ) 的复杂度，而单次计算的时候只需要用秦九韶算法 O(n) O ( n ) 求出。

优缺点

牛顿插值法可以在 O(n) O ( n ) 的复杂度计算单次的值， 并且当插值点增加的时候，我们也只需要 O(n) O ( n ) 的复杂度刷新一遍差商即可，这就是牛顿插值法的优越性。缺点的话，就是计算较为复杂，式子也不好背。
（其实缺点是这个算法无法在特殊情况下优化到 O(n) O ( n ) ，如何这样请看下文）

实现

在插值这个过程中，我们只需要求出 P(x) P ( x ) 的值即可，余项只是用来判误差的。
观察这个式子，我们发现对于 1 1 这个因式，所有的项都有（这不是废话）；对于 (x−x0) ( x − x 0 ) 这个因式，从第二项到最后一项都有；对于 (x−x0)(x−x1) ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) 这个因式，从第三项到最后一项都有 ⋯ ⋯
发现什么没有？这玩意非常像那个叫秦九韶算法的玩意。因此我们考虑预处理差商，然后利用秦九韶算法从内往外求出 P(x) P ( x ) 的值。代码如下：

//Night's template
#include 
#define R register
#define LL long long
template<class TT>inline TT Max(R TT a,R TT b){return atemplate<class TT>inline TT Min(R TT a,R TT b){return ausing namespace std;
template<class TT>inline void read(R TT &x){
    x=0;R bool f=false;R char c=getchar();
    for(;c<48||c>57;c=getchar())f|=(c=='-');
    for(;c>47&&c<58;c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    (f)&&(x=-x);
}
//end template
const int maxn = 2020;
struct node{
    double x,y;
}P[maxn];//储存点的结构题体
int n;
double a[maxn];//差商，作为系数
double x;//求值点
int main(){
    read(n);
    for(R int i=0;iscanf("%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y);
    }//输入数据点
    scanf("%lf",&x);//求值点
    for(R int i=0;ifor(R int i=0;ifor(R int j=n-1;j>i;j--){
            a[j]=(a[j]-a[j-1])/(P[j].x-P[j-1-i].x);
        }
    }//处理差商

    R double tmp=1,ans=a[0];
    for(R int i=0;i1];
    }
    printf("%.5lf\n",ans);
    return 0;
}

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拉格朗日插值法

推导分析

由于我们要构造的多项式 L(x) L ( x ) 需要满足 L(xi)=yi L ( x i ) = y i ，因此我们考虑构造这样一个式子，使得 fi(xi)=yi f i ( x i ) = y i 且其余的 fi(xj) (j≠i) f i ( x j )   ( j ≠ i ) 都为 0 0 。
显然如果取 fi(x) f i ( x ) 有 (x−xj) (j≠i) ( x − x j )   ( j ≠ i ) 这些因式，那么就可以保证这一点。
因此取

fi(x)=∏j=0, j≠inx−xjxi−xj f i ( x ) = ∏ j = 0 ,   j ≠ i n x − x j x i − x j

那么我们要构造的多项式即是

L(x)=∑i=0nfi(x) yi L ( x ) = ∑ i = 0 n f i ( x )   y i

那么 L(x) L ( x ) 称为 拉格朗日插值多项式， fi(x) f i ( x ) 称为 拉格朗日基本多项式（或者插值基函数）。

复杂度

显然求每一个 fi(x) f i ( x ) 是 O(n) O ( n ) 的，于是求 L(x) L ( x ) 是 O(n×n)=O(n2) O ( n × n ) = O ( n 2 ) 的。因此对于每个插值点，拉格朗日插值法的复杂度是 O(n2) O ( n 2 ) 的。

优缺点

拉格朗日插值多项式结构整齐，计算十分方便（比牛顿插值法好记多了）。但是在实际计算中，当插值点有所修改时，所对应的整个多项式就需要全部重新计算，复杂度是 O(n2) O ( n 2 ) 的（相比之下牛顿插值法只需要 O(n) O ( n ) ），因此我们就要用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差。这类现象也被称为龙格现象，相同地，牛顿插值法由于也是一个 n n 次的多项式，也会出现同样的问题。解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。

重心插值法

再观察一下这个式子

fi(x)=∏j=0, j≠inx−xjxi−xj f i ( x ) = ∏ j = 0 ,   j ≠ i n x − x j x i − x j

L(x)=∑i=0n(fi(x)×yi) L ( x ) = ∑ i = 0 n ( f i ( x ) × y i )

我们会发现我们每个 fi(x) f i ( x ) 都重复计算了这样一个东西

∏j=0,j≠in(x−xj) ∏ j = 0 , j ≠ i n ( x − x j )

于是乎，我们记

g(x)=∏i=0n(x−xi) g ( x ) = ∏ i = 0 n ( x − x i )

来解决这个问题，这样一来 L(x) L ( x ) 就会变成这样：

L(x)=g(x)∑i=0nyi(∏j≠i(xi−xj))×(x−xi) L ( x ) = g ( x ) ∑ i = 0 n y i ( ∏ j ≠ i ( x i − x j ) ) × ( x − x i )

为了解决拉格朗日插值法每次加入插值点都需要重新计算 fi(x) f i ( x ) 的问题，对于每一个 fi( f i ( 我们记重心权

wi=yi∏j≠i(xi−xj) w i = y i ∏ j ≠ i ( x i − x j )

则

L(x)=g(x)∑i=0nwix−xi L ( x ) = g ( x ) ∑ i = 0 n w i x − x i

这样，求预处理 wi w i 的复杂度为 O(n2) O ( n 2 ) ，单次求值 L(x) L ( x ) 的复杂度为 O(n) O ( n ) 。
而对于动态加点的问题，我们只需要 O(n) O ( n ) 地修改 wi w i 就可以了，避免了 O(n2) O ( n 2 ) 的复杂运算，具体做法呢，就是把所有的 wi w i 除以 xi−xn+1 x i − x n + 1 得到新的 wn+1 w n + 1 ，这样一来我们的添加插值点的复杂度就变成 O(n) O ( n ) 的了。

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线性插值法

所谓线性插值法，并不是指你把插值点两两直线连起来的那个插值法，而是能在保证插值点 xi=x0+i x i = x 0 + i 的情况下将复杂度优化到 O(n) O ( n ) 的重心拉格朗日插值法。

推导如下

由上面讲的重心插值法，我们有

L(x)=g(x)∑i=0nwix−xi L ( x ) = g ( x ) ∑ i = 0 n w i x − x i

其中的 g(x) g ( x ) 显然可以 O(n) O ( n ) 预处理，因此我们要想办法 O(n) O ( n ) 地计算

∑i=0nwix−xi ∑ i = 0 n w i x − x i

显然前面那个 ∑ ∑ 是省不掉的啊，所以我们考虑如何 O(1) O ( 1 ) 求

wi=yi∏j≠i(xi−xj) w i = y i ∏ j ≠ i ( x i − x j )

我们考虑把下面的 ∏ ∏ 分成 j<i j < i 与 j>i j > i 两类，那么

wi=yi∏i−1j=0(xi−xj)×∏nj=i+1(xi−xj) w i = y i ∏ j = 0 i − 1 ( x i − x j ) × ∏ j = i + 1 n ( x i − x j )

由于 xi=x0+i x i = x 0 + i ，那么

wi=yi∏ij=1j×∏n−ij=1−j w i = y i ∏ j = 1 i j × ∏ j = 1 n − i − j

这样一来，我们可以预处理

vi=∏j=1ij v i = ∏ j = 1 i j

那么

wi=yivj×−vn−i w i = y i v j × − v n − i

于是我们就可以 O(n) O ( n ) 地预处理 vi v i ，然后 O(1) O ( 1 ) 地求出 wi w i ，然后 O(n) O ( n ) 地计算

L(x)=g(x)∑i=0nwix−xi L ( x ) = g ( x ) ∑ i = 0 n w i x − x i

于是此时，我们的插值法就变成线性的啦（耶）
（代码与例题未完待续…
（可能会没空写…