DFIG控制10： 双馈发电机的动态模型
DFIG控制10： 双馈发电机的动态模型。主要介绍DFIG在三相坐标系、定子αβ坐标系、dq同步坐标系下的模型。
本文主要是整理了DFIG的动态模型的公式和坐标变换的过程。某些描述是为了便于自己理解，不一定准确。
大部分内容参考：
G. Abad, J. Lopez, M. Rodriguez, L. Marroyo, and G. Iwanski, Doubly Fed Induction Machine: Modeling and Control for Wind Energy Generation. John Wiley & Sons, 2011.
模型主要包括4个方程：电压、磁链、转矩、运动。
三相坐标系模型
示意图
示意图如下，ABC定子，里面的转子abc在旋转。转子的各个参数已经折算到定子侧，折算后定子和转子的匝数相同。（折算方式类似于变压器的原副边折算）。转子的三个绕组旋转的角速度为转子的电角速度 θ r \theta_r θr，是机械角速度乘以极对数 n p θ m n_p\theta_m npθm
电压方程
对于定子：
u A , B , C = R s i A , B , C + d ψ A , B , C d t u_{A,B,C}=R_si_{A,B,C}+\frac{d\psi_{A,B,C}}{dt} uA,B,C=RsiA,B,C+dtdψA,B,C
其实就是电压和磁链的关系（电磁感应定律），并且考虑了绕组内阻上的压降 。
或者写成矩阵形式：
[ u A u B u C ] = [ R s 0 0 0 R s 0 0 0 R s ] [ i A i B i C ] + d d t [ ψ A ψ B ψ C ] \left[\begin{matrix} u_A \\ u_B \\ u_C \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} R_s & 0 & 0 \\ 0 & R_s & 0 \\ 0 & 0 & R_s \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} i_A \\ i_B \\ i_C \end{matrix}\right] + \frac{d}{dt}\left[\begin{matrix} \psi_A \\ \psi_B \\ \psi_C \end{matrix}\right] uAuBuC = Rs000Rs000Rs iAiBiC +dtd ψAψBψC
R s R_s Rs为定子绕组的内阻。
对于转子，
u a , b , c = R r i a , b , c + d ψ a , b , c d t u_{a,b,c}=R_ri_{a,b,c}+\frac{d\psi_{a,b,c}}{dt} ua,b,c=Rria,b,c+dtdψa,b,c
R s R_s Rs为转子绕组的内阻。
或者写成矩阵形式：
[ u a u b u c ] = [ R r 0 0 0 R r 0 0 0 R r ] [ i a i c i c ] + d d t [ ψ a ψ b ψ c ] \left[\begin{matrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} R_r & 0 & 0 \\ 0 & R_r & 0 \\ 0 & 0 & R_r \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} i_a \\ i_c \\ i_c \end{matrix}\right] + \frac{d}{dt}\left[\begin{matrix} \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \end{matrix}\right] uaubuc = Rr000Rr000Rr iaicic +dtd ψaψbψc
磁链方程
这部分内容还是可以参考变压器的模型。看了这个视频，觉得讲得还挺清楚的：第十一讲 风力发电系统基本结构+双馈电机数学模型第一部分_哔哩哔哩_bilibili
把DFIG的3个定子绕组相当于3个位置固定的电感（星形连接的），而3个转子绕组相当于3个旋转的电感（也是星形连接的）。这些电感的部分磁链于其他电感有交链，也有部分只在绕组自身交链（类似变压器的漏感）。
考虑所有这些交链关系（ ψ = ∑ L x i x \psi=\sum L_xi_x ψ=∑Lxix），定子和转子的磁链为：
[ ψ A ψ B ψ C ψ a ψ b ψ c ] = [ L A A L A B L A C L A a L A b L A c L B A L B B L B C L B a L B b L B c L C A L C B L C C L C a L C b L C c L a A L a B L a C L a a L a b L a c L b A L b B L b C L b a L b b L b c L c A L c B L c C L c a L c b L c c ] [ i A i B i C i a i b i c ] \left[\begin{matrix} \psi_A \\ \psi_B \\ \psi_C \\ \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} L_{AA} & L_{AB} & L_{AC} & L_{Aa} & L_{Ab} & L_{Ac}\\ L_{BA} & L_{BB} & L_{BC} & L_{Ba} & L_{Bb} & L_{Bc} \\ L_{CA} & L_{CB} & L_{CC} & L_{Ca} & L_{Cb} & L_{Cc} \\ L_{aA} & L_{aB} & L_{aC} & L_{aa} & L_{ab} & L_{ac}\\ L_{bA} & L_{bB} & L_{bC} & L_{ba} & L_{bb} & L_{bc} \\ L_{cA} & L_{cB} & L_{cC} & L_{ca} & L_{cb} & L_{cc} \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} i_A \\ i_B \\ i_C \\ i_a \\ i_b \\ i_c \end{matrix}\right] ψAψBψCψaψbψc = LAALBALCALaALbALcALABLBBLCBLaBLbBLcBLACLBCLCCLaCLbCLcCLAaLBaLCaLaaLbaLcaLAbLBbLCbLabLbbLcbLAcLBcLCcLacLbcLcc iAiBiCiaibic
其中，定子-定子之间以及转子-转子之间的电感，由于相对位置是固定的，所以电感值是常数。而定子-转子之间的电感，由于转子在转动，电感值随转子的电角度 θ r \theta_r θr变化。
所以可以分成4部分：
[ ψ s ψ r ] = [ L s s L s r ( θ r ) L r s ( θ r ) L r r ] [ i s i r ] \left[\begin{matrix} \boldsymbol{\psi}_s \\ \boldsymbol{\psi}_r \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \boldsymbol{L}_{ss} & \boldsymbol{L}_{sr}(\theta_r) \\ \boldsymbol{L}_{rs}(\theta_r) & \boldsymbol{L}_{rr} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \boldsymbol{i}_s \\ \boldsymbol{i}_r \end{matrix}\right] [ψsψr]=[LssLrs(θr)Lsr(θr)Lrr][isir]
下标s表示定子的3个变量，下标r表示转子的3个变量。6x6的电感矩阵，按照系数是否随电角度变化，分成了4个3x3的矩阵。
再来看一下这4个矩阵。
定子：
L s s = [ L m + L l s − 0.5 L m − 0.5 L m − 0.5 L m L m + L l s − 0.5 L m − 0.5 L m − 0.5 L m L m + L l s ] \boldsymbol{L}_{ss}= \left[\begin{matrix} L_{m}+L_{ls} & -0.5L_m & -0.5L_m \\ -0.5L_m & L_{m}+L_{ls} & -0.5L_m \\ -0.5L_m & -0.5L_m & L_{m}+L_{ls} \end{matrix}\right] Lss= Lm+Lls−0.5Lm−0.5Lm−0.5LmLm+Lls−0.5Lm−0.5Lm−0.5LmLm+Lls
L m L_m Lm是磁链有交链的部分，由于三相绕组120°的位置关系，其他两相绕组对另一相的互感都是 L m c o s 12 0 ∘ = − 0.5 L m L_m cos120^\circ=-0.5L_m Lmcos120∘=−0.5Lm，没有交链的是定子每相的漏感 L l s L_{ls} Lls。
转子侧公式类似：
L r r = [ L m + L l r − 0.5 L m − 0.5 L m − 0.5 L m L m + L l r − 0.5 L m − 0.5 L m − 0.5 L m L m + L l r ] \boldsymbol{L}_{rr}= \left[\begin{matrix} L_{m}+L_{lr} & -0.5L_m & -0.5L_m \\ -0.5L_m & L_{m}+L_{lr} & -0.5L_m \\ -0.5L_m & -0.5L_m & L_{m}+L_{lr} \end{matrix}\right] Lrr= Lm+Llr−0.5Lm−0.5Lm−0.5LmLm+Llr−0.5Lm−0.5Lm−0.5LmLm+Llr
注意因为做了折算，交链的部分和定子一样，为 L m L_m Lm。不同的是，转子每相的漏感为 L l r L_{lr} Llr。
定子转子之间：
L s r ( θ r ) = L r s ( θ r ) T = [ L A a L A b L A c L B a L B b L B c L C a L C b L C c ] = L m [ c o s ( θ r ) c o s ( θ r + 12 0 ∘ ) c o s ( θ r − 12 0 ∘ ) c o s ( θ r − 12 0 ∘ ) c o s ( θ r ) c o s ( θ r + 12 0 ∘ ) c o s ( θ r + 12 0 ∘ ) c o s ( θ r − 12 0 ∘ ) c o s ( θ r ) ] \begin{align*} &\boldsymbol{L}_{sr}(\theta_r)=\boldsymbol{L}_{rs}(\theta_r)^T = \left[\begin{matrix} L_{Aa} & L_{Ab} & L_{Ac}\\ L_{Ba} & L_{Bb} & L_{Bc} \\ L_{Ca} & L_{Cb} & L_{Cc} \\ \end{matrix}\right]\\ &=L_m\left[\begin{matrix} cos(\theta_r) & cos(\theta_r+120^\circ) & cos(\theta_r-120^\circ) \\ cos(\theta_r-120^\circ) & cos(\theta_r) & cos(\theta_r+120^\circ) \\ cos(\theta_r+120^\circ) & cos(\theta_r-120^\circ) & cos(\theta_r) \end{matrix}\right]\end{align*} Lsr(θr)=Lrs(θr)T= LAaLBaLCaLAbLBbLCbLAcLBcLCc =Lm cos(θr)cos(θr−120∘)cos(θr+120∘)cos(θr+120∘)cos(θr)cos(θr−120∘)cos(θr−120∘)cos(θr+120∘)cos(θr)
看第一行：当转子的a相和定子的A相重合时， θ r = 0 \theta_r=0 θr=0，此时互感 L A a L_{Aa} LAa达到最大值 L m L_m Lm。此时转子b相的物理位置超前a相120°，c相超前240°（相当于滞后120°），所以有这样的表达式。先了解到这里，没继续看更细节的内容。（这里简单认为极对数=1）
转矩和运动方程
这个没仔细看，只记录一下公式，后面转矩方程需要和电压、磁链方程一起做坐标变换。（发现篇幅太长了，转矩部分还是下次再写）。
转矩方程：
T e = n p L m [ ( i A i a + i B i b + i C i c ) s i n θ r + ( i A i b + i B i c + i C i a ) s i n ( θ r + 12 0 ∘ ) + ( i A i c + i B i a + i C i b ) s i n ( θ r − 12 0 ∘ ) ] \begin{align*} T_e=& n_pL_m[(i_Ai_a+i_Bi_b+i_Ci_c)sin\theta_r+\\ & (i_Ai_b+i_Bi_c+i_Ci_a)sin(\theta_r+120^\circ)+ \\ & (i_Ai_c+i_Bi_a+i_Ci_b )sin(\theta_r-120^\circ)] \end{align*} Te=npLm[(iAia+iBib+iCic)sinθr+(iAib+iBic+iCia)sin(θr+120∘)+(iAic+iBia+iCib)sin(θr−120∘)]
理想的运动方程（应该是大物里面见过）：
J n p d ω r d t = T e − T L \frac{J}{n_p}\frac{d\omega_r}{dt}=T_e-T_L npJdtdωr=Te−TL
描述了电机在电磁转矩 T e T_e Te和负载转矩 T L T_L TL作用下的加减速。 ω r / n p \omega_r/n_p ωr/np为机械角速度，J为转动惯量。
定子αβ静止坐标系模型
为了简化模型，引入了3/2变换（Clarke变换）。主要是基于三相电压、电流有一定关系，不是完全独立的：比如在星形连接中， i a + i b + i c = 0 i_a+i_b+i_c=0 ia+ib+ic=0，所以知道两相的值就可以求得另一相的值；三相电流实际只需要两个量来表示。（具体原理可以参考其他文章，比如，手撕系列（2）：Clark变换与Park变换 - 知乎 (zhihu.com)）
这里强调定子αβ静止坐标系，是因为转子的变量经过3/2变换后，是在
相对转子静止的转子αβ坐标系上，而这个坐标系（后面按照参考书的方式称为转子DQ坐标系）相对定子αβ静止坐标系以转子的电角速度 ω r \omega_r ωr旋转
abc三相坐标系、定子αβ静止坐标系、转子DQ坐标系、同步dq坐标系的关系：
- abc三相坐标系没画全，a轴和α轴重合。
- 转子DQ坐标系和同步dq坐标系都是在旋转的，角速度如下。
这里使用等幅值变换，并且A轴和α轴重合：
[ x α x β x 0 ] = T 3 / 2 [ x a x b x c ] = 2 3 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 1 2 1 2 1 2 ] [ x a x b x c ] \left[ \begin{matrix} x_\alpha \\ x_\beta \\ x_0 \end{matrix} \right] =T_{3/2}\left[ \begin{matrix} x_a \\ x_b \\ x_c \end{matrix} \right]= \frac{2}{3} \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_a \\ x_b \\ x_c \end{matrix} \right] xαxβx0 =T3/2 xaxbxc =32 1021−212321−21−2321 xaxbxc
变换矩阵把第三行也加上，只是为了后面便于计算逆矩阵。
使用矢量表示
一些推导在矢量表示下更方便。
举例如下：
[ X c o s ( ω t ) X c o s ( ω t − 2 3 π ) X c o s ( ω t + 2 3 π ) ] → T 3 / 2 [ X c o s ( ω t ) X s i n ( ω t ) ] → T α β / d q [ X 0 ] \left[ \begin{matrix} Xcos(\omega t) \\ Xcos(\omega t-\frac{2}{3}\pi) \\Xcos(\omega t+\frac{2}{3}\pi) \end{matrix} \right] \xrightarrow{T_{3/2}} \left[ \begin{matrix} Xcos(\omega t) \\ Xsin(\omega t) \end{matrix} \right] \xrightarrow{T_{\alpha\beta/dq}} \left[ \begin{matrix} X \\ 0 \end{matrix} \right] Xcos(ωt)Xcos(ωt−32π)Xcos(ωt+32π) T3/2[Xcos(ωt)Xsin(ωt)]Tαβ/dq[X0]
这个过程也可以用矢量表示为：
[ X c o s ( ω t ) X c o s ( ω t − 2 3 π ) X c o s ( ω t + 2 3 π ) ] → T 3 / 2 X ⃗ α β = X c o s ( ω t ) + j X s i n ( ω t ) = X e j ω t → e − j ω t X ⃗ d q = X \begin{align*} \left[ \begin{matrix} Xcos(\omega t) \\ Xcos(\omega t-\frac{2}{3}\pi) \\Xcos(\omega t+\frac{2}{3}\pi) \end{matrix} \right] \xrightarrow{T_{3/2}} & \vec{X}^{\alpha\beta}=Xcos(\omega t) + jXsin(\omega t)=Xe^{j\omega t} \\ \xrightarrow{e^{-j\omega t}} & \vec{X}^{dq}=X \end{align*} Xcos(ωt)Xcos(ωt−32π)Xcos(ωt+32π) T3/2e−jωtXαβ=Xcos(ωt)+jXsin(ωt)=XejωtXdq=X
- 经过Clarke变换后，把α轴分量作为实部，β轴分量作为虚部，平衡的三相信号可以表示为一个在αβ坐标系逆时针旋转的矢量，矢量的模等于X（因为等幅值变换），角速度为 ω \omega ω，角度为 ω t \omega t ωt。
- 如果采用dq同步坐标系，就是说让坐标系与信号同步旋转，在dq坐标系下，三相信号最终变成了一个静止的矢量。
- 注意αβ->dq变换（Park变换）是对信号做运算，其目的是把信号变换到一个
逆时针旋转，角速度也为 ω \omega ω的dq坐标系上。而对于信号而言，让坐标轴逆时针旋转，其实就是让信号顺时针旋转，从而抵消在静止坐标系下的角速度，最终得到直流量。这也就是park变换被表示为 e − j ω t e^{-j\omega t} e−jωt的原因。（因为需要用到，把park变换也简单介绍一下）
电压方程（矢量形式）
对定子电压做3/2变换：
[ u α u β u 0 ] = T 3 / 2 [ u A u B u C ] = T 3 / 2 [ R s 0 0 0 R s 0 0 0 R s ] T 3 / 2 − 1 ⋅ T 3 / 2 [ i A i B i C ] + T 3 / 2 d d t [ ψ A ψ B ψ C ] = [ R s 0 0 0 R s 0 0 0 R s ] [ i α i β i 0 ] + d d t [ ψ α ψ β ψ 0 ] \begin{align*} \left[ \begin{matrix} u_\alpha \\ u_\beta \\u_0 \end{matrix} \right] = T_{3/2}\left[\begin{matrix} u_A \\ u_B \\ u_C \end{matrix}\right] &= T_{3/2} \left[\begin{matrix} R_s & 0 & 0 \\ 0 & R_s & 0 \\ 0 & 0 & R_s \end{matrix}\right] T_{3/2}^{-1}\cdot T_{3/2} \left[\begin{matrix} i_A \\ i_B \\ i_C \end{matrix}\right] + T_{3/2} \frac{d}{dt}\left[\begin{matrix} \psi_A \\ \psi_B \\ \psi_C \end{matrix}\right] \\ &=\left[\begin{matrix} R_s & 0 & 0 \\ 0 & R_s & 0 \\ 0 & 0 & R_s \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix} i_\alpha \\ i_\beta \\ i_0 \end{matrix} \right] + \frac{d}{dt}\left[\begin{matrix} \psi_\alpha \\ \psi_\beta \\ \psi_0 \end{matrix}\right] \end{align*} uαuβu0 =T3/2 uAuBuC =T3/2 Rs000Rs000Rs T3/2−1⋅T3/2 iAiBiC +T3/2dtd ψAψBψC = Rs000Rs000Rs iαiβi0 +dtd ψαψβψ0
注意矩阵中间的 T 3 / 2 − 1 ⋅ T 3 / 2 = E T_{3/2}^{-1}\cdot T_{3/2}=E T3/2−1⋅T3/2=E，（单位矩阵）。计算时， T 3 / 2 − 1 T_{3/2}^{-1} T3/2−1和前面结合， T 3 / 2 T_{3/2} T3/2和后面的电流向量结合，实现αβ转换。
只看前两行，写成矢量形式：
u ⃗ s = R s i ⃗ s + d d t ψ ⃗ s \vec{u}_s=R_s\vec{i}_s+\frac{d}{dt}\vec{\psi}_s us=Rsis+dtdψs
从这个方程可以看出，定子电压 u ⃗ s \vec{u}_s us的相位超前定子磁链 ψ ⃗ s \vec{\psi}_s ψs 约90°（如果忽略 R s R_s Rs）
转子电压和定子电压表达式类似，做3/2变换，省略中间过程，写成矢量形式：
u ⃗ r r = R r i ⃗ r r + d d t ψ ⃗ r r \vec{u}_r^r=R_r\vec{i}_r^r+\frac{d}{dt}\vec{\psi}_r^r urr=Rrirr+dtdψrr
注意转子物理量的上标r。此时转子坐标系与定子坐标系不同。
只经过3/2变换，转子的物理量位于相对转子静止的坐标系上（参考书中称为大写的DQ坐标系），而这个坐标系以转子的电角速度 ω r \omega_r ωr旋转，与定子坐标系的夹角为 ω r t \omega_rt ωrt。
目标是把转子的物理量也放到定子αβ静止坐标系中。所以，需要把转子的坐标系旋转 − ω r t -\omega_rt −ωrt，相对地，也就是把转子的物理量旋转 ω r t \omega_rt ωrt。（有点绕）。这样处理以后，把上标r去掉，表示定子和转子的物理量是在同一个坐标系中（定子αβ静止坐标系）：
u ⃗ r = u ⃗ r r e j ω r t = R r i ⃗ r r e j ω r t + e j ω r t d d t ψ ⃗ r r = R r i ⃗ r + d d t ψ ⃗ r − j ω r ψ ⃗ r \begin{align*} \vec{u}_r=\vec{u}_r^re^{j\omega_r t} &=R_r\vec{i}_r^re^{j\omega_r t}+e^{j\omega_r t}\frac{d}{dt}\vec{\psi}_r^r \\ &=R_r\vec{i}_r+\frac{d}{dt}\vec{\psi}_r-j\omega_r\vec{\psi}_r \end{align*} ur=urrejωrt=Rrirrejωrt+ejωrtdtdψrr=Rrir+dtdψr−jωrψr
备注：
1.推导过程其实是复合函数的求导
ψ ⃗ r = e j ω r t ψ ⃗ r r , d d t ψ ⃗ r = d e j ω r t ψ ⃗ r r d t = e j ω r t d d t ψ ⃗ r r + ψ ⃗ r r d e j ω r t d t = e j ω r t d d t ψ ⃗ r r + ψ ⃗ r r ( j ω r e j ω r t ) = e j ω r t d d t ψ ⃗ r r + j ω r ψ ⃗ r → e j ω r t d d t ψ ⃗ r r = d d t ψ ⃗ r − j ω r ψ ⃗ r \begin{align*} \vec{\psi}_r&=e^{j\omega_r t}\vec{\psi}_r^r, \\ \frac{d}{dt}\vec{\psi}_r &=\frac{de^{j\omega_r t}\vec{\psi}_r^r}{dt} =e^{j\omega_r t}\frac{d}{dt}\vec{\psi}_r^r+\vec{\psi}_r^r\frac{de^{j\omega_r t}}{dt} \\ &=e^{j\omega_r t}\frac{d}{dt}\vec{\psi}_r^r+\vec{\psi}_r^r (j\omega_r e^{j\omega_r t}) \\ &= e^{j\omega_r t}\frac{d}{dt}\vec{\psi}_r^r + j\omega_r\vec{\psi}_r \\ \rightarrow &e^{j\omega_r t}\frac{d}{dt}\vec{\psi}_r^r =\frac{d}{dt}\vec{\psi}_r-j\omega_r\vec{\psi}_r \end{align*} ψrdtdψr→=ejωrtψrr,=dtdejωrtψrr=ejωrtdtdψrr+ψrrdtdejωrt=ejωrtdtdψrr+ψrr(jωrejωrt)=ejωrtdtdψrr+jωrψrejωrtdtdψrr=dtdψr−jωrψr
2. − j ω r ψ ⃗ r -j\omega_r\vec{\psi}_r −jωrψr导致转子物理量的αβ分量之间存在耦合
3.转子物理量的角频率为 ω s 1 = ω e − ω r \omega_{s1}=\omega_e-\omega_r ωs1=ωe−ωr。（例如，转子电流的角速度=转差角速度=定子（电网）角速度-转子电角速度）。在转子的DQ坐标系中，转子的物理量可以表示为 X e j ω s 1 t Xe^{j\omega_{s1}t} Xejωs1t。转换到定子αβ静止坐标系，转子的物理量变为 X e j ω s 1 t e j ω r t = X e j ω e t Xe^{j\omega_{s1}t}e^{j\omega_r t}=Xe^{j\omega_{e}t} Xejωs1tejωrt=Xejωet。也就是说，在定子αβ静止坐标系，转子和定子的物理量具有相同的频率。
整理电压方程的矢量形式如下：
{ u ⃗ s = R s i ⃗ s + d d t ψ ⃗ s u ⃗ r = R r i ⃗ r + d d t ψ ⃗ r − j ω r ψ ⃗ r \begin{cases} \vec{u}_s=R_s\vec{i}_s+\frac{d}{dt}\vec{\psi}_s \\ \vec{u}_r=R_r\vec{i}_r+\frac{d}{dt}\vec{\psi}_r-j\omega_r\vec{\psi}_r \end{cases} {us=Rsis+dtdψsur=Rrir+dtdψr−jωrψr
电压方程（αβ形式）
让矢量的实部和虚部分别相等，把电压方程写成αβ形式：
{ u s α = R s i s α + d d t ψ s α u s β = R s i s β + d d t ψ s β u r α = R r i r α + d d t ψ r α + ω r ψ r β u r β = R r i r β + d d t ψ r β − ω r ψ r α \begin{cases} u_{s\alpha} &= R_si_{s\alpha}+\frac{d}{dt}\psi_{s\alpha}\\ u_{s\beta} &= R_si_{s\beta}+\frac{d}{dt}\psi_{s\beta}\\ u_{r\alpha} &= R_ri_{r\alpha}+\frac{d}{dt}\psi_{r\alpha}+\omega_r\psi_{r\beta}\\ u_{r\beta} &= R_ri_{r\beta}+\frac{d}{dt}\psi_{r\beta}-\omega_r\psi_{r\alpha} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧usαusβurαurβ=Rsisα+dtdψsα=Rsisβ+dtdψsβ=Rrirα+dtdψrα+ωrψrβ=Rrirβ+dtdψrβ−ωrψrα
注意转子电压方程中的耦合项。
磁链方程（αβ形式）
磁链方程不知道怎么样直接用矢量来做。。所以还是先αβ形式再矢量形式吧。
对比矢量形式和矩阵形式（其中 ω r t = θ r \omega_r t=\theta_r ωrt=θr）
i ⃗ r = e j θ r i ⃗ r r , i ⃗ r r = e − j θ r i ⃗ r r i r α β = T r ( θ r ) i r r , i r r = T r ( − θ r ) i r α β \begin{align*} \vec{i}_{r}&=e^{j\theta_r}\vec{i}_{r}^r,\quad\; \vec{i}_{r}^r=e^{-j\theta_r}\vec{i}_{r}^r \\ \boldsymbol{i}_{r\alpha\beta}&=T_{r}(\theta_r)\boldsymbol{i}_{r}^r, \; \boldsymbol{i}_{r}^r = T_{r}(-\theta_r)\boldsymbol{i}_{r\alpha\beta} \end{align*} irirαβ=ejθrirr,irr=e−jθrirr=Tr(θr)irr,irr=Tr(−θr)irαβ
其中， T r ( θ r ) T_{r}(\theta_r) Tr(θr)实现逆时针旋转 θ r \theta_r θr（park反变换）， T r ( − θ r ) T_{r}(-\theta_r) Tr(−θr)实现顺时针旋转 θ r \theta_r θr（park变换）。（都写成3x3矩阵，便于运算）
T r ( θ r ) = [ c o s θ r − s i n θ r 0 s i n θ r c o s θ r 0 0 0 1 ] , ( inverse Park ) T r ( − θ r ) = [ c o s θ r s i n θ r 0 − s i n θ r c o s θ r 0 0 0 1 ] , ( Park ) T r − 1 ( θ r ) = T r ( − θ r ) \begin{align*} T_{r}(\theta_r) &= \left[\begin{matrix} cos\theta_r & -sin\theta_r & 0\\ sin\theta_r & cos\theta_r & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right], \;(\text{inverse\,Park}) \\ T_{r}(-\theta_r) &= \left[\begin{matrix} cos\theta_r & sin\theta_r & 0\\ -sin\theta_r & cos\theta_r & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right], \;(\text{Park}) \\ T_{r}^{-1}(\theta_r) &= T_{r}(-\theta_r) \end{align*} Tr(θr)Tr(−θr)Tr−1(θr)= cosθrsinθr0−sinθrcosθr0001 ,(inversePark)= cosθr−sinθr0sinθrcosθr0001 ,(Park)=Tr(−θr)
补充一些用到的式子：
- 矩阵乘法： M T A B = M T A [ ( M T ) − 1 M T ] B = M T A T − 1 M − 1 ( M T B ) MTAB=MTA[(MT)^{-1}MT]B=MTAT^{-1}M^{-1}(MTB) MTAB=MTA[(MT)−1MT]B=MTAT−1M−1(MTB)
- 定子侧物理量的Clarke变换： T 3 / 2 x s = x s α β T_{3/2}\boldsymbol{x}_s=\boldsymbol{x}_{s\alpha\beta} T3/2xs=xsαβ
- 转子侧物理量的Clarke变换： T 3 / 2 x r = x s α β r T_{3/2}\boldsymbol{x}_r=\boldsymbol{x}_{s\alpha\beta}^r T3/2xr=xsαβr
- 转子侧物理量Clarke变换后，再变换到定子αβ坐标系上： T r ( θ r ) T 3 / 2 x r = T r θ r x s α β r = x s α β T_r({\theta_r})T_{3/2}\boldsymbol{x}_r=T_r{\theta_r}\boldsymbol{x}_{s\alpha\beta}^r=\boldsymbol{x}_{s\alpha\beta} Tr(θr)T3/2xr=Trθrxsαβr=xsαβ
之前三相坐标系下的磁链表达式为：
[ ψ s ψ r ] = [ L s s L s r ( θ r ) L r s ( θ r ) L r r ] [ i s i r ] \left[\begin{matrix} \boldsymbol{\psi}_s \\ \boldsymbol{\psi}_r \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \boldsymbol{L}_{ss} & \boldsymbol{L}_{sr}(\theta_r) \\ \boldsymbol{L}_{rs}(\theta_r) & \boldsymbol{L}_{rr} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \boldsymbol{i}_s \\ \boldsymbol{i}_r \end{matrix}\right] [ψsψr]=[LssLrs(θr)Lsr(θr)Lrr][isir]
先把定子磁链变换到定子αβ坐标系 ψ s α β \boldsymbol{\psi}_{s\alpha\beta} ψsαβ（注意其中转子电流的表达式）：
ψ s α β = T 3 / 2 ψ s = T 3 / 2 L s s T 3 / 2 − 1 ( T 3 / 2 i s ) + T 3 / 2 L s r ( θ r ) T 3 / 2 − 1 ( T 3 / 2 i r ) = T 3 / 2 L s s T 3 / 2 − 1 i s α β + T 3 / 2 L s r ( θ r ) T 3 / 2 − 1 i r r = ( T 3 / 2 L s s T 3 / 2 − 1 ) i s α β + [ T 3 / 2 L s r ( θ r ) T 3 / 2 − 1 T r ( − θ r ) ] i r α β \begin{align*} \boldsymbol{\psi}_{s\alpha\beta}=T_{3/2}\boldsymbol{\psi}_s &= T_{3/2}\boldsymbol{L}_{ss}T_{3/2}^{-1}(T_{3/2}\boldsymbol{i}_s) +T_{3/2}\boldsymbol{L}_{sr}(\theta_r) T_{3/2}^{-1}(T_{3/2}\boldsymbol{i}_r) \\ &=T_{3/2}\boldsymbol{L}_{ss}T_{3/2}^{-1}\boldsymbol{i}_{s\alpha\beta}+ T_{3/2}\boldsymbol{L}_{sr}(\theta_r) T_{3/2}^{-1}\boldsymbol{i}_r^r \\ &=(T_{3/2}\boldsymbol{L}_{ss}T_{3/2}^{-1})\boldsymbol{i}_{s\alpha\beta}+ \left[T_{3/2}\boldsymbol{L}_{sr}(\theta_r) T_{3/2}^{-1}T_{r}(-\theta_r) \right]\boldsymbol{i}_{r\alpha\beta} \\ \end{align*} ψsαβ=T3/2ψs=T3/2LssT3/2−1(T3/2is)+T3/2Lsr(θr)T3/2−1(T3/2ir)=T3/2LssT3/2−1isαβ+T3/2Lsr(θr)T3/2−1irr=(T3/2LssT3/2−1)isαβ+[T3/2Lsr(θr)T3/2−1Tr(−θr)]irαβ
其中，两个电感矩阵在变换后变为：
T 3 / 2 L s s T 3 / 2 − 1 = [ 1.5 L m + L l s 0 0 0 1.5 L m + L l s 0 0 0 L l s ] T 3 / 2 L s r ( θ r ) T 3 / 2 − 1 T r ( − θ r ) = [ 1.5 L m 0 0 0 1.5 L m 0 0 0 0 ] \begin{align*} T_{3/2}\boldsymbol{L}_{ss}T_{3/2}^{-1} &= \left[\begin{matrix} 1.5L_m+L_{ls} & 0 & 0 \\ 0 & 1.5L_m+L_{ls} & 0 \\ 0 & 0 & L_{ls} \end{matrix}\right] \\ T_{3/2}\boldsymbol{L}_{sr}(\theta_r) T_{3/2}^{-1}T_{r}(-\theta_r) &= \left[\begin{matrix} 1.5L_m & 0 & 0 \\ 0 & 1.5L_m & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \\ \end{align*} T3/2LssT3/2−1T3/2Lsr(θr)T3/2−1Tr(−θr)= 1.5Lm+Lls0001.5Lm+Lls000Lls = 1.5Lm0001.5Lm0000
在mathCAD中的计算结果：
第二行，转子磁链 ψ r α β \boldsymbol{\psi}_{r\alpha\beta} ψrαβ，需要在Clark变换后，再转过 θ r \theta_r θr（左乘 T r ( θ r ) T_{r}(\theta_r) Tr(θr)），才转换到αβ定子坐标系下。
ψ r α β = T r ( θ r ) ψ r α β r = T r ( θ r ) T 3 / 2 ψ r = T r ( θ r ) T 3 / 2 L r s ( θ r ) T 3 / 2 − 1 ( T 3 / 2 i s ) + [ T r ( θ r ) T 3 / 2 L r r T 3 / 2 − 1 T r ( − θ r ) ] [ T r ( θ r ) T 3 / 2 i r ] = T r ( θ r ) T 3 / 2 L r s ( θ r ) T 3 / 2 − 1 i s α β + [ T r ( θ r ) T 3 / 2 L r r T 3 / 2 − 1 T r ( − θ r ) ] i r α β \begin{align*} \boldsymbol{\psi}_{r\alpha\beta} &= T_{r}(\theta_r)\boldsymbol{\psi}_{r\alpha\beta}^r =T_{r}(\theta_r)T_{3/2}\boldsymbol{\psi}_r \\ &= T_{r}(\theta_r)T_{3/2}\boldsymbol{L}_{rs}(\theta_r) T_{3/2}^{-1}(T_{3/2}\boldsymbol{i}_s) + \left[T_{r}(\theta_r)T_{3/2}\boldsymbol{L}_{rr}T_{3/2}^{-1}T_{r}(-\theta_r)\right] \left[ T_{r}(\theta_r)T_{3/2}\boldsymbol{i}_r \right]\\ &= T_{r}(\theta_r)T_{3/2}\boldsymbol{L}_{rs}(\theta_r) T_{3/2}^{-1}\boldsymbol{i}_{s\alpha\beta} + \left[T_{r}(\theta_r)T_{3/2}\boldsymbol{L}_{rr}T_{3/2}^{-1}T_{r}(-\theta_r)\right] \boldsymbol{i}_{r\alpha\beta}\\ \end{align*} ψrαβ=Tr(θr)ψrαβr=Tr(θr)T3/2ψr=Tr(θr)T3/2Lrs(θr)T3/2−1(T3/2is)+[Tr(θr)T3/2LrrT3/2−1Tr(−θr)][Tr(θr)T3/2ir]=Tr(θr)T3/2Lrs(θr)T3/2−1isαβ+[Tr(θr)T3/2LrrT3/2−1Tr(−θr)]irαβ
其中，两个电感矩阵在变换后变为：
T r ( θ r ) T 3 / 2 L r s ( θ r ) T 3 / 2 − 1 = [ 1.5 L m 0 0 0 1.5 L m 0 0 0 0 ] T r ( θ r ) T 3 / 2 L r r T 3 / 2 − 1 T r ( − θ r ) = [ 1.5 L m + L l r 0 0 0 1.5 L m + L l r 0 0 0 L l r ] \begin{align*} T_{r}(\theta_r)T_{3/2}\boldsymbol{L}_{rs}(\theta_r) T_{3/2}^{-1} &= \left[\begin{matrix} 1.5L_m & 0 & 0 \\ 0 & 1.5L_m & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \\ T_{r}(\theta_r)T_{3/2}\boldsymbol{L}_{rr}T_{3/2}^{-1}T_{r}(-\theta_r) &= \left[\begin{matrix} 1.5L_m+L_{lr} & 0 & 0 \\ 0 & 1.5L_m+L_{lr} & 0 \\ 0 & 0 & L_{lr} \end{matrix}\right] \\ \end{align*} Tr(θr)T3/2Lrs(θr)T3/2−1Tr(θr)T3/2LrrT3/2−1Tr(−θr)= 1.5Lm0001.5Lm0000 = 1.5Lm+Llr0001.5Lm+Llr000Llr
在mathCAD中的计算结果：
（第二个矩阵表达式比较长，分两步计算）
只看前两行，这些电感矩阵在变换后都变成了对角矩阵，并且系数都变成了常数（不再有 c o s ( θ r ) cos(\theta_r) cos(θr)项），模型得到了简化。
{ ψ s α = ( 1.5 L m + L l s ) i s α + 1.5 L m i r α = L s i s α + L M i r α ψ s β = ( 1.5 L m + L l s ) i s β + 1.5 L m i r β = L s i s β + L M i r β ψ r α = ( 1.5 L m + L l r ) i r α + 1.5 L m i s α = L r i r α + L M i s α ψ r β = ( 1.5 L m + L l r ) i r β + 1.5 L m i s β = L r i r β + L M i s β \begin{cases} \psi_{s\alpha} &= (1.5L_m+L_{ls})i_{s\alpha}+1.5L_mi_{r\alpha} =L_si_{s\alpha}+L_Mi_{r\alpha}\\ \psi_{s\beta} &= (1.5L_m+L_{ls})i_{s\beta}+1.5L_mi_{r\beta} =L_si_{s\beta}+L_Mi_{r\beta}\\ \psi_{r\alpha} &= (1.5L_m+L_{lr})i_{r\alpha}+1.5L_mi_{s\alpha} =L_ri_{r\alpha}+L_Mi_{s\alpha}\\ \psi_{r\beta} &= (1.5L_m+L_{lr})i_{r\beta}+1.5L_mi_{s\beta} =L_ri_{r\beta}+L_Mi_{s\beta} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ψsαψsβψrαψrβ=(1.5Lm+Lls)isα+1.5Lmirα=Lsisα+LMirα=(1.5Lm+Lls)isβ+1.5Lmirβ=Lsisβ+LMirβ=(1.5Lm+Llr)irα+1.5Lmisα=Lrirα+LMisα=(1.5Lm+Llr)irβ+1.5Lmisβ=Lrirβ+LMisβ
磁链方程（矢量形式）
根据磁链方程的αβ形式可以写出矢量形式。
{ ψ ⃗ s = L s i ⃗ s + L M i ⃗ r ψ ⃗ r = L r i ⃗ r + L M i ⃗ s \begin{cases} \vec{\psi}_{s} &=L_s\vec{i}_{s}+L_M\vec{i}_{r}\\ \vec{\psi}_{r} &=L_r\vec{i}_{r}+L_M\vec{i}_{s} \end{cases} {ψsψr=Lsis+LMir=Lrir+LMis
dq坐标系模型
回顾之前的推导，在定子αβ静止坐标系，转子和定子的物理量具有相同的频率，也就是 ω e \omega_e ωe。所以，在dq坐标系的转速为 ω e \omega_e ωe时，
一些物理量会变成直流量，便于控制。之前也提到了，让坐标轴逆时针旋转 ω e t \omega_e t ωet，就是把对应的物理量顺时针旋转 ω e t \omega_e t ωet，也就是 e − j ω t x ⃗ e^{-j\omega t}\vec{x} e−jωtx
矢量形式
把定子αβ静止坐标系的电压方程两边都乘以 e − j ω t e^{-j\omega t} e−jωt，得到# dq坐标系下的电压方程：
电压方程中， e − j ω t u ⃗ s = u ⃗ s a e^{-j\omega t}\vec{u}_s=\vec{u}_s^a e−jωtus=usa。上标a代表dq轴下的物理量。
注意对于磁链的微分，略有不同，之前推导过： e − j ω e t d d t ψ ⃗ = d d t ψ ⃗ a + j ω e ψ ⃗ a e^{-j\omega_e t}\frac{d}{dt}\vec{\psi}=\frac{d}{dt}\vec{\psi}^a+j\omega_e\vec{\psi}^a e−jωetdtdψ=dtdψa+jωeψa
记得角速度的关系： ω e = ω s 1 + ω r \omega_e=\omega_{s1}+\omega_{r} ωe=ωs1+ωr，电网速度=转差速度+转子电角速度。其中，转子物理量（电压、电流、磁链）的角速度就是转差速度 ω s 1 \omega_{s1} ωs1，所以这个方程是还挺对称的。
{ u ⃗ s a = R s i ⃗ s a + d d t ψ ⃗ s a + j ω e ψ ⃗ s a u ⃗ r a = R r i ⃗ r a + d d t ψ ⃗ r a + j ( ω e − ω r ) ψ ⃗ r a = R r i ⃗ r a + d d t ψ ⃗ r a + j ω s 1 ψ ⃗ r a \begin{cases} \vec{u}_s^a=R_s\vec{i}_s^a+\frac{d}{dt}\vec{\psi}_s^a+j\omega_e \vec{\psi}_s^a \\ \vec{u}_r^a=R_r\vec{i}_r^a+\frac{d}{dt}\vec{\psi}_r^a+j(\omega_e-\omega_r)\vec{\psi}_r^a = R_r\vec{i}_r^a+\frac{d}{dt}\vec{\psi}_r^a+j\omega_{s1}\vec{\psi}_r^a \end{cases} {usa=Rsisa+dtdψsa+jωeψsaura=Rrira+dtdψra+j(ωe−ωr)ψra=Rrira+dtdψra+jωs1ψra
磁链方程形式没有变，只是上标加了个a，表示是dq轴下的量。
{ ψ ⃗ s a = L s i ⃗ s a + L M i ⃗ r a ψ ⃗ r a = L r i ⃗ r a + L M i ⃗ s a \begin{cases} \vec{\psi}_{s}^a &=L_s\vec{i}_{s}^a+L_M\vec{i}_{r}^a\\ \vec{\psi}_{r}^a &=L_r\vec{i}_{r}^a+L_M\vec{i}_{s}^a \end{cases} {ψsaψra=Lsisa+LMira=Lrira+LMisa
αβ形式
根据矢量形式，同样可以写出αβ形式。
电压方程：
{