二叉堆题解（分块打表）

题目大意

二叉堆是一种特殊的堆，其同时满足完全二叉树和堆的性质。

求有多少种不同的$n$个点的二叉堆满足所有节点的权值都在$1$到$n$之间且互不相同。输出答案对$10^9+7$取模。

数据范围

$1\le n\le 10^9$

题解

设$s_i$表示子树$i$的大小，$l_i$和$r_i$分别表示$i$的左儿子和右儿子。

用$gt(i)$表示以$i$为根的子树内不重复地填上$1$到$s_i$的方案数。则有

$gt(i)=C_{s_i-1}^{s_{l_i}}gt(l_i)\times gt(r_i)$

把组合数拆开后，经过整理，我们可以发现答案就是$\frac{n!}{\prod _{i=1}^n{s}_i}$。那么，可以先求$\frac{1}{\prod _{i=1}^n{s}_i}$，然后再乘上$n!$。

对于一棵完全二叉树，根节点的左右子树中至少有一棵为满二叉树。

令$f_i$表示子树大小为$2^i-1$的点的$s$值之积，那么有

$f_i=\frac{f_{i-1}\times f_{i-1}}{2^i-1}$

那么，我们可以从根节点开始，先找到是满二叉树的子树，乘上它的贡献，然后递归到另一个子树中继续求值。

这样我们就可以$O(\log n)$求出$\frac{1}{\prod _{i=1}^n{s}_i}$。

那么，怎么求$n!$呢？分段打表即可。设分了$k$段，那么可以$O(1)$得出$\lfloor \frac{n-1}{k}\rfloor +1$的阶乘，然后$O(\frac{10^9}{k})$求出$n$的阶乘。

时间复杂度为$O(\log n+\frac{10^9}{k})$。

code

#include
using namespace std;
long long ans,f[35];
long long t[100]={1,924724006,582347126,500419162,881147799,693776109,435873621,279027658,727951124,398578768,
				678364145,204828554,345795998,116118093,359401113,236930793,856493327,207383191,617606889,933753281,
				26701748,329394893,360779992,416008308,187501984,165706817,328891607,16385287,117411011,404196042,
				765064133,239669664,761588352,566114869,673499119,840260100,352356536,53839501,178657924,373444237,
				227300165,207172723,444208499,367531373,297449176,605324209,729265513,567907756,125889461,250743107,
				666666670,598576559,632705086,295855233,185718228,414607857,737215408,863388390,182290465,707552496,
				881713600,417895708,490627919,364521407,775935292,972492338,473340273,920880265,530581,696910290,
				64037482,649527920,756691728,283805222,711255329,825205499,263679166,341083474,914727729,919247968,
				465317279,960145703,274813468,393588827,65909169,521964827,794328994,484551338,521297378,54488990,
				591837535,255746228,25827429,177799409,92011129,469664591,35708489,197025781,288851931,254032854};
long long mod=1000000007;
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
long long gt(int n){
	int x;
	long long re;
	for(x=1;(1<<x)-1<n;x++);
	if((1<<x)-1==n) return f[x];
	if(n<=(1<<x)-1-(1<<x-2)) re=f[x-2]*gt(n-(1<<x-2))%mod;
	else re=f[x-1]*gt(n-(1<<x-1))%mod;
	re=re*mi(n,mod-2)%mod;
	return re;
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=30;i++) f[i]=f[i-1]*f[i-1]%mod*mi((1<<i)-1,mod-2)%mod;
	ans=gt(n)*t[(n-1)/10000000]%mod;
	for(int i=(n-1)/10000000*10000000+2;i<=n;i++) ans=ans*i%mod;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}