Leetcode.1201 丑数 III

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Leetcode.1201 丑数 III Rating ： 2039

题目描述

给你四个整数：n 、a 、b 、c，请你设计一个算法来找出第 n 个丑数。

丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的 正整数 。

示例 1：

输入：n = 3, a = 2, b = 3, c = 5
输出：4
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10… 其中第 3 个是 4。

示例 2：

输入：n = 4, a = 2, b = 3, c = 4
输出：6
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12… 其中第 4 个是 6。

示例 3：

输入：n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
输出：10
解释：丑数序列为 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13… 其中第 5 个是 10。

示例 4：

输入：n = 1000000000, a = 2, b = 217983653, c = 336916467
输出：1999999984

提示：

• $1<=n,a,b,c<=10^9$
• $1<=a\ast b\ast c<=10^{1}8$
• 本题结果在 $[1,2\ast 10^9]$ 的范围内

解法：容斥原理 + 二分

对于 $1,2,3,4,...,n-1,n$ 共 $n$ 个数，能被整数 $k$ 整除的个数为 $\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$。

例如，$n=7$，能被 $k=3$ 整除的个数为 $\lfloor \frac{7}{3}\rfloor =2$，即 $3,6$。

$lcm(a,b)$ 是 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数。

• 定义 $A$ 为 $n$ 中能被 $a$ 整除的数的个数，即 $\lfloor \frac{n}{a}\rfloor$
• 定义 $B$ 为 $n$ 中能被 $b$ 整除的数的个数，即 $\lfloor \frac{n}{b}\rfloor$
• 定义 $C$ 为 $n$ 中能被 $c$ 整除的数的个数，即 $\lfloor \frac{n}{c}\rfloor$
• 定义 $AB$ 为 $n$ 中能被 $lcm(a,b)$ 整除的数的个数，即 $\lfloor \frac{n}{lcm(a,b)}\rfloor$
• 定义 $BC$ 为 $n$ 中能被 $lcm(b,c)$ 整除的数的个数，即 $\lfloor \frac{n}{lcm(b,c)}\rfloor$
• 定义 $AC$ 为 $n$ 中能被 $lcm(a,c)$ 整除的数的个数，即 $\lfloor \frac{n}{lcm(a,c)}\rfloor$
• 定义 $ABC$ 为 $n$ 中能被 $lcm(a,b,c)$ 整除的数的个数，即 $\lfloor \frac{n}{lcm(a,b,c)}\rfloor$

故 $n$ 个数中能被 a 或 b 或 c 整除的正整数个数为 ：$cnt=(A+B+C)-(AB+BC+AC)+(ABC)$。

我们用 二分，找到第一个 $cnt\ge n$ 的 $mid$，即 $mid$ 就是第 $n$ 个丑数。

时间复杂度： $logr$

C++代码：

using LL = long long;

class Solution {
public:
    int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c) {
        LL ab = lcm<LL>(a,b);
        LL bc = lcm<LL>(b,c);
        LL ac = lcm<LL>(a,c);
        LL abc = lcm<LL>(ab,c);

        LL l = 1 , r = 2e9;
        while(l < r){
            LL mid = (r - l) / 2 + l;
            LL cnt = (mid/a + mid/b + mid/c) - (mid/ab + mid/bc + mid/ac) + (mid/abc);
            if(cnt >= n) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }

        return (int)l;
    }
};