【高频电子线路】[模型]LC串联谐振回路（第2章 谐振功率放大器）

1. 回路阻抗

$\begin{array}{rl}{Z}_s& =|Z_s|e^{j\phi }=r+jX\\ & =r+j\omega L+\frac{1}{j\omega C}=r+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})\end{array}$
$\{\begin{array}{l}|Z_s|=\sqrt{r^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C}{)}^2}\\ \phi =\arctan \frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{r}\end{array}$
$X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$

2. 谐振频率——使$Z_s$的虚部为0的频率

${\omega }_{0}L-\frac{1}{{\omega }_{0}C}=0\Rightarrow {\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

2.1. 谐振电阻

• $R_s=r$
• 谐振时回路的阻抗最小

2.2. 特性阻抗：回路谐振时的感抗或容抗

$\rho ={\omega }_{0}L=\frac{1}{{\omega }_{0}C}=\sqrt{\frac{L}{C}}$

2.3. 电压分析

• 若在串联振荡回路两端加一恒压信号$U$, 则发生串联谐振时因阻抗最小, 流过电路的电流最大, 其值为$I_0=\frac{U}{r}$

• 电感上的电压
  ${\stackrel{\cdot }{U}}_L=j{\omega }_{0}L{I}_0=jU\frac{{\omega }_{0}L}{r}$

• 电容上的电压
  ${\stackrel{\cdot }{U}}_C=I_0\frac{1}{j{\omega }_{0}C}=-jU\frac{1}{{\omega }_{0}Cr}$

• 在谐振时，电容和电感上的电压将会远大于外加电压->在选电容和电感器件的耐压值要特别注意，串联谐振回路也称为电压谐振回路

3. 品质因数

• $Q=\frac{{\omega }_{0}L}{r}=\frac{1}{{\omega }_{0}Cr}$

• 电感上的电压
  ${\stackrel{\cdot }{U}}_L=j{\omega }_{0}L{I}_0=jU\frac{{\omega }_{0}L}{r}=jQU$

• 电容上的电压
  ${\stackrel{\cdot }{U}}_C=I_0\frac{1}{j{\omega }_{0}C}=-jU\frac{1}{{\omega }_{0}Cr}=-jQU$

• 在任意频率下的回路电流$I$与谐振电流$I_0$之比
  $\frac{\stackrel{\cdot }{I}}{{\stackrel{\cdot }{I}}_0}=\frac{\frac{\stackrel{\cdot }{U}}{Z_s}}{\frac{\stackrel{\cdot }{U}}{r}}=\frac{r}{Z_s}=\frac{1}{1+j\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{r}}=\frac{1}{1+j\frac{{\omega }_{0}L}{r}(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })}=\frac{1}{1+jQ(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })}$
  $\frac{I}{I_0}=\sqrt{\frac{1}{1+Q^2(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega }{)}^2}}$
  

• 无载(空载)$Q$值：通常指不考虑信号源内阻和负载电阻时回路自身的$Q$值

• 有载$Q_L$值

  • 考虑信号源内阻$R_S$和负载电阻$R_L$影响时的$Q$值
  • $Q_L=\frac{{\omega }_{0}L}{r+R_S+R_L}$

• LC串联谐振回路为了有更好的的选频特性，品质因数都是远大于1

• 串联谐振回路适用于信号源内阻与负载电阻较小的电路——$Q_L$值比较大

4. 广义失谐系数——表征了一个谐振回路偏离谐振频率的程度

• $\xi =Q(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })$
• $\frac{I}{I_0}=\frac{1}{\sqrt{1+{\xi }^2}}$
• $\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega }=\frac{(\omega +{\omega }_0)(\omega -{\omega }_0)}{\omega {\omega }_0}\approx \frac{2\omega \Delta \omega }{\omega {\omega }_0}=\frac{2\Delta \omega }{{\omega }_0}$
  $\xi \approx 2Q\frac{\Delta \omega }{{\omega }_0}$

5. 通频带(回路带宽)

• 回路的通频带$B$：当保持外加信号的幅值不变而改变其频率时, 回路电流值下降为谐振值的$\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$时对应的频率范围
• $\frac{I}{I_0}=\frac{1}{\sqrt{1+{\xi }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \xi =\pm 1$
  $\xi \approx 2Q\frac{\Delta \omega }{{\omega }_0}=1\Rightarrow \frac{{\omega }_0}{Q}=2\Delta \omega \Rightarrow \frac{f_0}{Q}=2\Delta f_{0.707}$
  $B=\frac{f_0}{Q}=2\Delta f_{0.707}$