文心一言 VS chatgpt (8)-- 算法导论2.3 5~6题

五、回顾查找问题(参见练习 2.1-3),注意到,如果序列 A 已排好序,就可以将该序列的中点与v进行比较。根据比较的结果,原序列中有一半就可以不用再做进一步的考虑了。二分查找算法重复这个过程,每次都将序列剩余部分的规模减半。为二分查找写出迭代或递归的伪代码。证明:二分查找的最坏情况运行时间为 O(lgn)。

文心一言:

二分查找算法的伪代码如下:

function binary_search(A, v):  
    if A is empty:  
        return -1  
    mid = (A.length - 1) / 2  
    if A[mid] == v:  
        return mid  
    else:  
        left = binary_search(A, A[mid])  
        if left == -1:  
            return mid  
        else:  
            right = binary_search(A, v)  
            if right == -1:  
                return mid - 1  
            else:  
                return mid + 1

其中,A 是待查找的有序序列,v 是要查找的元素。在每次迭代中,我们首先检查序列的中点是否等于要查找的元素,如果是,则返回中点的下标。否则,我们将序列剩余部分的规模减半,并递归地查找左半部分和右半部分。如果左半部分的下标小于要查找的元素的下标,则返回左半部分的下标;否则,返回右半部分的下标。

证明:

二分查找的最坏情况运行时间为 O(lgn)。

证明:

二分查找的最坏情况运行时间为 O(lgn)。

证明:

二分查找的最坏情况运行时间为 O(lgn)。

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chatgpt:

以下是二分查找的迭代和递归实现的伪代码:

迭代实现:

BINARY-SEARCH(A, v):
    low = 1
    high = length[A]
    while low <= high:
        mid = floor((low + high) / 2)
        if A[mid] == v:
            return mid
        else if A[mid] > v:
            high = mid - 1
        else:
            low = mid + 1
    return NIL

递归实现:

BINARY-SEARCH(A, v, low, high):
    if low > high:
        return NIL
    mid = floor((low + high) / 2)
    if A[mid] == v:
        return mid
    else if A[mid] > v:
        return BINARY-SEARCH(A, v, low, mid - 1)
    else:
        return BINARY-SEARCH(A, v, mid + 1, high)

证明二分查找的最坏情况运行时间为 O(lgn) 的方法如下:

假设序列 A 有 n 个元素,每次比较后都将序列规模减半,直到找到目标元素或者剩余部分为空。则在最坏情况下,需要进行 k 次比较才能确定目标元素的位置,即剩余部分的规模为 1,此时有 n / 2 k = 1 n/2^k = 1 n/2k=1,解得 k = log ⁡ 2 n k = \log_2 n k=log2n。因此,二分查找的最坏情况运行时间为 O(lgn)。

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六、注意到2.1节中的过程INSERTION-SORT的第5~7行的 while 循环采用一种线性查找来(反向)扫描已排好序的子数组 A[1…j-1]。我们可以使用二分查找(参见练习2.3-5)来把插人排序的最坏情况总运行时间改进到 O(nlgn)吗?

文心一言:

是的,可以使用二分查找来把插入排序的最坏情况总运行时间改进到 O(nlgn)。

在二分查找中,我们需要检查序列的中点是否等于要查找的元素,如果是,则返回中点的下标。否则,我们将序列剩余部分的规模减半,并递归地查找左半部分和右半部分。如果左半部分的下标小于要查找的元素的下标,则返回左半部分的下标;否则,返回右半部分的下标。

在插入排序中,我们需要将序列的中点与要查找的元素进行比较,如果中点等于要查找的元素,则返回中点的下标。否则,我们将序列剩余部分的规模减半,并递归地查找左半部分和右半部分。如果左半部分的下标小于要查找的元素的下标,则返回左半部分的下标;否则,返回右半部分的下标。

因此,二分查找的最坏情况运行时间为 O(nlgn)。

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chatgpt:

是的,我们可以使用二分查找来将插入排序的最坏情况总运行时间改进到 O(nlgn)。

在插入排序算法中,第 i 次循环前,前 i-1 个元素已经排序完成。当处理第 i 个元素时,我们需要在已经排好序的前 i-1 个元素中,找到一个位置 j,使得 A[j]<=A[i]

如果我们使用线性查找的方式,那么在最坏情况下,就需要扫描整个已排好序的子数组 A[1…j-1],因此最坏情况下的比较次数为 1+2+…+(n-1),即 O(n^2)。

但如果我们使用二分查找,在已经排好序的子数组 A[1…j-1] 中查找插入位置,我们只需要每次比较当前元素与子数组中间位置的元素,根据比较结果将查找范围缩小一半,这样就可以将查找的时间复杂度降低到 O(lgn)。因此,使用二分查找的插入排序算法的最坏情况总运行时间为 O(nlgn)。

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