01 成本与收益
上篇文章《彩票中的数学1：一次稳赚不赔的游戏》我们讲到，2017年中国彩票收入4000多亿，平均全国14亿人每人买了158张彩票。
这么大销量，何人买？
我初中的时候，姨夫特别喜欢彩票。他是中学老师，吃喝不愁，但不是大富大贵。有次听人说镇上有人中了二等奖，几十万，心里痒痒，自己就买彩票。因为我数学成绩好，姨夫拉着我看他选出的几组号码哪个能中奖。
我明知道这玩意没什么规律，但还是选择了一注跟之前几期号码重复最少的，觉得中奖概率大点。
当然侥幸是不存在的，一个号没中。
姨夫连买了两年，期期不拉，毛都没有，终于洗手不干，为我国的福利事业也算做了两年贡献。
就我观察，购买彩票的主力军，不是极端贫穷的人，也不是巨富，而是像我姨夫那样，手中稍有点余钱的穷人。
对于极端贫苦的人，比如全国6亿月收入1000元以下的人，一注彩票2块钱，已经是很多了，让他们在不多的收入中拿出2块只为虚无缥缈的500万，舍不得。
而对于富人，即使中了大奖500万，对他们上亿的资产也不过是星星雨；比如2019年，马云身价2800亿人民币，如果一个人想通过买彩票追上马云的财富，按每注一等奖500万算，假设每天都中奖，他要153年才能追上。
况且，买彩票消耗精力，对富人来说，把这精力时间用来经营产业，不更好吗？说不定产业增值远超500万。
所以，大部分买彩票的人是手里有点余钱的穷人，2块钱对他们还能接受，没中也能当个谈资；万一中了，对自己生活改善巨大。
原理很简单，但这个事情却昭示了一个非常重要的原理—效用。
这个原理不仅在数学上非常重要，在经济学上也同样重要，甚至获得过诺贝尔经济学奖。
02 效用理论
什么是效用？
思考这个问题：一瓶纯净水，在商场只卖1块钱，但如果你在沙漠中渴的要死，一瓶水能卖多少钱？估计1000元都接受。
也就是说，一个东西给人带来的幸福和快感，与它的价值不成正比。同样500万，给穷人带来的快乐肯定大于给亿万富翁带来的快乐。所以，富豪不会花精力买彩票，只有穷人才热衷。
这就是效用（Utility），表征人们通过消费或者享受闲暇等使自己的需求、欲望等得到的满足的一个度量。
“效用”的提出者丹尼尔·伯努利（著名伯努利家族中的一员），他于1738年发表了一篇论文，指出：1. 个人的决策行为准则是为了获得最大效用值而非最大期望值；2. 金钱一旦超过某个界限，就几乎丧失了所有效用，无法使愉悦感进一步提升。
效用概念，为经济学衡量价值奠定了基础，也成为解释某些现象的理论依据。
美国讽刺作家佛兰勒波维茨年轻时非常贫困，但她十分热爱写作。她以开出租车为生，每当她挣够一个月的房租和饮食费，就不再出车，而是专心写作。
因为对她来说，钱只不过是为了维持生命，写作才是必需品。因此在维持生活水平标准以下，金钱会带给她效用；而一旦满足生活基本需求，金钱带来的愉悦感就为0。
当然这是一个极端的例子，更一般情况是愉悦感随着金钱幅度增加而降低，10万元收入带来的愉悦感并不是1万元的10倍，而是小于。
当身家2800亿美元的马云说“我并不幸福，最幸福的是月赚1万”时，这是符合效用理论的，因为2800亿美元，增加1个亿，不会让马云感到什么变化。
当然，他说的是不是真的我也不知道，因为我身家只有2800块，无法感同身受，对我来说，每增加1块钱我都很快乐。
03 金融公司的赚钱秘诀
效用理论不光对获得财富有效，对于损失，同样有效。
比如我，只有存款20万，小偷偷我10万，我肯定痛不欲生；而马云有2000多亿，小偷偷他10万，他一点感觉也没有。
这就是效用不同，同样损失一笔钱，穷人和富人感觉是不一样的。
投资活动也类似。
假定有两个投资活动，<1> 投资后立刻获得5万元；<2> 50%概率赚30万，50%概率赔15万。
第1项投资的期望为5万，第2项投资期望为7.5万元，如果按照期望计算，应该选择第2项投资。
但现实世界中，穷人一般会选择1，因为对于他来说，投资活动2有50%概率赔掉15万，可能他的总财产都不足15万，一旦投资失败，立刻倾家荡产。
根据效用理论，对这个穷人来说，赚30万的幸福指数可能是300，但赔掉15万的痛苦却是1000，效用是3000.5-10000.5=-350。效用是负的，所以即使价值期望为正，他也不敢投资。
富人就不一样了，他身价成百上千万，赚30万幸福指数是300，赔15万痛苦指数也就150，效用期望是3000.5-1500.5=75为正，所以他敢纯粹从期望角度考虑问题，反正投资机会多得是，这次即使赔了，下次也能赚回来。
这也是我们经常观察到的情况，有钱人有足够的资金储备承受偶尔失利造成的损失，并且通过继续投资，最终变得更有钱；穷人则没有那么幸运，一旦失败无法东山再起，所以患得患失，一味保稳，从而一直贫困。
把这种损失效用理论发挥到极限的，是金融公司。他们的策略更简单，只用一句话就能说明：
“玩就玩把大的。”
举个栗子，假设市场中有一项投资活动，投入500万美元，99%概率赚100万美元，1%概率赔5000万美元，应该怎么投资呢？
虽然这项投资的期望为正值（0.99100-50000.01=49），但因为有概率遭受巨额损失，所以一般人往往犹豫不决，或者直接放弃。
很多金融公司的选择却完全相反，而且更加激进：拆借大笔资金，确保金融资产达到天量，比如投资额的100倍，5亿美元，然后放大收益。这样，公司就有99%的可能赚1亿美元。
然而不幸投资失败呢？可要知道，一旦赔了，就是损失50亿美元，不光自己输光，还会欠别人很多钱。
但金融公司不怕，因为他们深谙一个道理，用西方谚语说的是：
“如果你欠100万，那是你的问题；如果你欠50亿，那是政府的问题。”
我们中国也有类似的说法：
“如果你欠银行10万，你是孙子；如果你欠银行10亿，银行是孙子。”
也就是说，只要金钱数量足够大，赚了是自己的；赔了，则是银行、政府甚至民众买单。
这是个非常具有讽刺性的金融战略，但却十分有效。根据罗杰罗温斯坦(Roger Lowenstein)记载，1990年代，这个战略为很多资本管理公司作出了贡献。
最登峰造极的是2008年次贷危机，奥巴马政府宣布救市，拿出1.66万亿美元，大部分都投给金融公司。结果，除了贝尔斯登和雷曼兄弟这种死的太快的，美洲银行、花旗银行、富国银行、高盛等金融机构都活了过来。
要知道，他们可是在次贷危机中赔的内裤都没了，按正常剧本，早该破产。
奈何政府一救市，亏损就都转移到美国政府手中，2009财年美国政府赤字达到1.75万亿美元，超过美国GDP的12％，这些钱，最终由民众买单。
这些公司，却一个个生龙活虎，继续采取这种类似赌博一样的投资策略，直到下一个经济危机到来。
04 期望和效用的漏洞
期望和效用，是非常有用的数学和经济学工具，世上大部分决策都可以通过这两个概念确定和解释。
但是，期望效用理论也有着很大的漏洞，这个漏洞，同样产生了一个新的数学概念。
还是老样子，先看一个问题：
在一个盒中有90个小球，其中有30个红球，其余60个为黑色或黄色，具体数量未知，现在有人从盒中掏出一个球，以下四种下注方式：
- 红球：如果猜中掏出的小球是红球，将得到100元；猜错，不得到什么；
- 黑球：如果猜中掏出的小球是黑球，将得到100元；猜错，不得到什么；
- 非红球：如果猜中掏出的小球是黑或者黄色，将得到100元；猜错，不得到什么；
- 非黑球：如果猜中掏出的小球是红或者黄色，将得到100元；猜错，不得到什么；
那么请问，是猜中红球的中奖几率更高还是黑球？而且，在猜非红球和非黑球中，哪个中奖几率更大？
这个问题是美国数学家丹尼尔 埃尔斯伯格首先提出来的，他询问了很多人，发现：
- 在猜红球和黑球中，大部分人选择红球，猜红球有1/3的几率中奖，而猜中黑球的概率未知。
- 在猜非红球和非黑球中，大部分人选择非红球，原因类似，猜非红球有2/3几率中奖，但非黑球未知。
乍一看人们选择没错，但仔细考虑下就会发现问题。
在红球和黑球中，大部分人选择了红球，他们感觉猜中红球的概率大于猜中黑球的概率。
同样，在猜非红球和非黑球中，人们仍倾向于猜非红球概率大于猜非黑球。
根据期望相加原理，“猜红球和猜非红球”的概率大于“猜黑球和猜非黑球”的概率。但我们知道，“猜红球和猜非红球”的概率之和为100%，而“猜黑球和猜非黑球”同样是100%。
这就产生了悖论。换句话说，按照人们的选择，猜中黑球的概率小于1/3，猜中非黑球的概率应该大于2/3。如果这样，那在猜非红球和非黑球中，应该选择猜非黑球才对。但大部分人却仍然选择非红球。
埃尔斯伯格的询问对象都是知名经济学家和数学家，所以可以排除询问样本的问题。于是这个悖论成为一个经典的数学难题。
埃尔斯伯格做出了一种解释：“期望和效用理论是不正确的。”但数学家拉姆斯菲尔德研究认为，这是因为有的信息已知，有的信息未知，我们应该用不同的方法处理。
在埃尔斯伯格悖论中，“猜红球”属于“已知的未知信息（Known unknown）”，我们不知道掏出来的小球是不是红色，但我们能确定是红色的概率为1/3；“猜黑球”则属于“未知的未知信息（unknown unknown）”，因为我们既不知道掏出来的小球是不是黑色，也不知道黑色的概率是多少。
“已知的未知信息”，被命名为“风险（risk）”，可以定量分析；而“未知的未知信息”，称作“不确定性（uncertainty）”，无法定量分析。
这就是经济学中的新课题—“不确定性分析理论”。
05 人们更厌恶不确定性
通常来说，相比“风险”，人们更讨厌“不确定性”。
在美剧《How I met your mother》中，有一个绝妙的情节可以说明这点。
主人公泰德和马歇尔为球赛打赌，他俩的损友巴尼为了增加打赌的精彩程度，出了个坏主意，把赌注分成两个选择：
- 赢家打输家10个耳光，立即兑现；
- 赢家打输家3个耳光，不确定什么时候兑现；
泰德选择了1，而马歇尔用他的小聪明则选择了2，因为马歇尔觉得3个耳光比10个耳光容易承受多了。
第一场比赛泰德输了，马歇尔心满意足打了泰德10个耳光；第二场比赛马歇尔输了，泰德说我今天不打，要把这三个耳光留在后面，让你一辈子都处于提心吊胆之中。
到这马歇尔才发现，那不确定的3个比确定的10个耳光厉害多了。剧集也是这么表现的，当马歇尔求婚成功、还有找到工作时，刚高兴没几秒，泰德的耳光就扇了过来，让他崩溃异常。
现代金融公司的很大一部分任务就是把“不确定性”降级成“风险”，为了达成这一目的，很多公司都宁可将风险夸大一倍。
多说一句“不确定性”的提出者丹尼尔埃尔斯伯格，他的一生非常具有传奇色彩。并且，不是作为数学家，而是作为斯诺登的前辈—泄密者。
埃尔斯伯格以第三名从哈佛大学毕业后，没有选择继续深造或工作，而是进入海军陆战队服役三年，后来才继续攻读博士学位。
1964年他加入美国国防部，1967年，埃尔斯伯格曾短暂与尼克松总统的国家安全顾问亨利·基辛格合作。就在那时，埃尔斯伯格读到关于美国参与越南战争的五角大楼报告，里面有很多机密，包括美国曾密谋刺杀南越总理、为继续战争掩盖战场伤亡数据等。
埃尔斯伯格将报告捅给《纽约时报》和《华盛顿邮报》，引起轩然大波。
他暴露五角大楼文件后，和家人受到FBI的多次骚扰和拘捕，《纽约时报》等报纸因此将美国政府告上法院，最高法院最终以6比3裁定政府败诉，“只有自由和不受限制的媒体，才能有效揭露政府的谎言……”。
这一事件，使美国政府声誉急剧下降，终于促使他们决定停止越南战争；时任总统尼克松更是威信扫地，三年后爆出水门爆出，灰溜溜结束任期。
2017年，美国导演斯皮尔伯格将这一事件拍成电影《华盛顿邮报》（POST），豆瓣评分8.1.
06 接下来的引子
在这篇文章和上篇文章中，本人介绍了彩票中蕴含的期望和效用原理。
接下来，我将继续介绍彩票中的数学，主要是如何选择号码，提高中奖几率。
相信这个知识，对于想买彩票的人是很有诱惑力的。
那么存不存在提高中奖几率的选号策略呢？数学告诉我们，存在。
为了这个价值连城的答案，请大家多多关注吧！
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