线性代数 —— 线性组合与线性表出，线性相关与线性无关

线性组合与线性表出

首先讲解关于线性组合和线性表出的概念
若对于n+1维向量组 α1，α2，α3，…，αn，β；
存在一组数k1,k2,…,kn，使得
β=α1+α2+α3+···+αn 成立；
则可以说：

• 向量β是向量组α1，α2，…，αn的一个线性组合
• 向量β可由向量组α1，α2，…，αn的线性表出

相关例题 ——“xxx能否由xxx线性表出”

验证某个向量是否为一个向量组的线性组合，或者说验证某个向量能否由一个向量组线性表出的关键，即从定义出发
尝试找出n个实数，使得 β=α1+α2+α3+···+αn 成立；

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线性相关与线性无关

定义

• 线性相关：对于n维向量组 α1，α2，α3，…，αn，若存在一组不全为0的实数 k1,k2,…,kn，使得k1α1+k2α2+k3α3+···+knαn = 0 成立，则n维向量组α1,α2,···,αn是线性相关的。
• 线性无关：对于n维向量组 α1，α2，α3，…，αn，若不存在一组不全为0的实数k1,k2,…,kn，使得k1α1+k2α2+k3α3+···+knαn = 0 成立，则n维向量组α1,α2,···,αn是线性无关的。

含义

*** k1α1+k2α2+k3α3+···+knαn = 0 （*）

• 只要能找到一组不全为0的实数k1,k2,···,kn，能够满足式子成立，就可以说是线性相关的
• 言外之意，这样的不全为0的一组实数，可能有多组，即不唯一
• 如果一组都找不到，那就是线性无关的
• 线性无关，即只有k1,k2,···,kn全为0时，（*）式 才能成立

*** 请务必好好理解，记熟线性相关和线性无关的定义和含义！

相关例题

典型例题也是非常基础的题型，即讨论向量组是否线性相关。这种题型把握好线性相关与线性无关的定义和含义即可。
讲解:如题，k1α1+k2α2+k3α3+k4α4 = 0，我们一定能找到
k1=k2=k3=k4=0 使得式子成立，即这组实数k1,k2,k3,k4全为0时肯定成立。关键在于，能不能找到一组不全为零的k1,k2,k3,k4也使它成立？
于是解方程组，k4=0，k2=k3，可令k2=k3=-1可以有一组解为
k1=2,k2=k3=-1,k4=0
即我们找出了一组不全为零的实数，使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4 = 0成立，那么根据线性相关的定义，它就是线性相关的。